Voir une exoplanète grâce aux propriétés ondulatoires de la lumière

Cet exercice de 5 points, prévu pour 50 minutes environ, porte sur l'observation de l'exoplanète 2M1207b, en orbite autour de l'étoile 2M1207a. La première partie traite de la limite imposée par la diffraction à un télescope, la seconde du principe de l'interféromètre de Bracewell, qui éteint l'étoile pour révéler la planète.

Partie 1 : diffraction et pouvoir séparateur

La diffraction s'explique par le caractère ondulatoire de la lumière. Pour distinguer la planète de son étoile, le critère de Rayleigh impose que l'écart angulaire α, voisin de r/d_{Terre-étoile}, soit au moins égal à 1,22 λ/D. On en déduit D ≥ 1,22 λ d_{Terre-étoile}/r. Avec r = 55 ua, une distance de 230 al et λ = 2,0 µm, le calcul donne un diamètre minimal de 0,65 m. Le piège majeur est de ne pas convertir les deux distances dans la même unité, ou d'oublier de passer λ en mètres.

Partie 2 : le principe de Bracewell

L'étoile est sur la ligne de visée : son onde atteint les deux télescopes en même temps et les trajets jusqu'à la recombinaison sont égaux. Le retard est nul, les interférences sont constructives. Le système optique ajoute un retard T/2 après le télescope 2 : les ondes de l'étoile arrivent alors en opposition de phase. Comme les télescopes sont identiques, les amplitudes sont égales et le signal de l'étoile s'annule exactement ; répondre seulement « intensité minimale » ne suffit pas.

Pour la planète, inclinée de α, deux retards s'ajoutent : d sin α/c, dû à la distance supplémentaire parcourue, et T/2, dû au système optique. L'interférence est constructive si τ' = kT. En égalant les deux expressions puis en utilisant λ = cT, relation qu'il faut citer explicitement, on obtient d sin α = (k − 1/2)λ.

Le calcul final

En remplaçant sin α par r/d_{Terre-étoile}, la plus petite distance positive correspond à k = 1 : d_min = (λ/2) d_{Terre-étoile}/r. En infrarouge, avec λ = 10 µm, on trouve 1,3 m. Deux pièges ici : prendre k = 0, qui donne une distance négative, et réutiliser la longueur d'onde de la question 1.2.

Conseils pour réussir

Ce sujet d'ancien programme raisonne sur le retard τ ; le programme actuel parle plutôt de différence de chemin optique δ = cτ, avec des conditions équivalentes. Dans les questions ouvertes, procède toujours de la même façon : écrire la condition, remplacer chaque angle par son expression, isoler la grandeur cherchée, convertir puis conclure par une phrase. Garde deux chiffres significatifs, comme les données λ et r.

Remarque enfin le lien entre les deux parties : plus l'écart angulaire est petit, environ 3,8 × 10^-6 rad ici, plus le télescope doit être large. L'interféromètre contourne cette limite : avec l'écartement trouvé, le signal de l'étoile est éteint tandis que celui de la planète est renforcé.