La température et la justesse d'un orgue

L'exercice 4 du bac S Antilles-Guyane rattrapage 2018 (ancien programme) est l'exercice de spécialité, noté sur 5 points, à traiter en une cinquantaine de minutes. Un musicien affirme qu'une hausse de 10 °C fait monter la note d'un tuyau d'orgue d'un quart de ton. Trois questions ouvertes conduisent à vérifier cette affirmation à partir d'un modèle du tuyau, d'un enregistrement du son et de son spectre.

Question 1 : quelle note joue le tuyau ?

Le modèle donne λ = 2L et la célérité du son v en fonction de la température absolue. On en déduit f = v/(2L). À 20 °C, soit 293 K, et avec L = 0,520 m, le calcul donne 330 Hz. La consigne demande aussi de vérifier la cohérence des documents 1 et 2. Sur l'enregistrement, cinq périodes durent environ 15,1 ms, ce qui donne environ 331 Hz. Sur le spectre, le pic de rang 3 vers 0,99 kHz conduit à un fondamental de 330 Hz. Les trois valeurs concordent à moins de 1 % : le tuyau joue un Mi3. Le piège principal est de laisser L en centimètres ou la température en degrés Celsius. Côté méthode, mesurer plusieurs périodes ou exploiter un harmonique de rang élevé divise l'erreur de lecture.

Question 2 : effet qualitatif de la température

La longueur d'onde reste imposée par le tuyau. Quand la température augmente, la célérité du son augmente, donc la fréquence f = v/λ augmente aussi : le son devient plus aigu. Il devient plus grave si la température baisse. Il suffit de bien distinguer ce qui est fixé, la longueur d'onde, de ce qui varie, la célérité.

Question 3 : le quart de ton du musicien

C'est le cœur de la résolution de problème. Il faut d'abord traduire l'affirmation en grandeur chiffrée. L'octave compte douze demi-tons égaux, donc vingt-quatre quarts de ton : le rapport de fréquences d'un quart de ton vaut 2 puissance 1/24, soit 1,029. À 30 °C, la fréquence atteint 336 Hz, et le rapport f30/f20 vaut la racine de 303/293, soit 1,017. Comme 1,017 est inférieur à 1,029, la note monte d'environ 1,7 % au lieu de 2,9 % : l'affirmation est exagérée.

Les pièges à éviter

Un intervalle musical est un rapport de fréquences, pas une différence. Le quart de ton s'obtient en prenant la racine carrée de 1,059, pas sa moitié. Il ne faut pas non plus faire le rapport des températures en degrés Celsius, ni diviser des fréquences arrondies : 336/330 donne 1,018. Le rapport littéral, qui ne dépend que des températures, évite ce problème.

Conseils

Dans une résolution de problème, annoncez la démarche, calculez, comparez puis concluez clairement. Un regard critique est apprécié : le calcul néglige la dilatation du tuyau, dont la longueur est donnée à 20 °C. La gamme tempérée et les modes d'un tuyau sonore ne figurent plus au programme actuel de spécialité, mais la relation entre célérité, fréquence et longueur d'onde reste essentielle.