Une résolution de problème autour d'une boisson de sport
L'exercice 4 du bac S Métropole 2018 (ancien programme) était réservé aux élèves de l'enseignement de spécialité. Noté sur 5 points, soit environ 50 minutes, il demande de juger si une coureuse qui compense toute sa perte en eau avec une boisson isotonique respecte deux recommandations : celle sur les sucres libres et celle sur un colorant, le bleu brillant. Les outils sont simples, mais l'énoncé laisse à l'élève l'organisation du raisonnement, ce qui en fait la vraie difficulté.
Question 1 : la limite des sucres libres
Les sucres libres ne doivent pas dépasser 10 % des besoins énergétiques du jour, soit 1,9 × 10³ kJ pour des besoins de 19 × 10³ kJ. La boisson apporte 68,5 kJ pour 100 mL, donc 685 kJ par litre. Le volume maximal vaut 2,8 L. Le piège est de diviser par 68,5 sans tenir compte des 100 mL : on obtient alors un nombre de portions, pas un volume.
Question 2 : la dilution
La conservation de la quantité de soluté lors d'une dilution donne C₅ = C₀ × V₅ / V, soit 8,0 × 10⁻⁶ mol·L⁻¹. Attention à l'unité de départ, exprimée en mmol·L⁻¹. Le même calcul fournit les concentrations de toutes les solutions étalons, de 1,0 à 10,0 µmol·L⁻¹.
Le problème : deux recommandations à vérifier
Il faut d'abord estimer le volume bu : une perte de 1,5 à 2,5 L par heure pendant 4 h représente entre 6,0 et 10 L. Même dans le cas le plus favorable, ce volume dépasse les 2,8 L autorisés : l'apport en sucres libres atteint 22 % à 36 % des besoins, au-delà de la limite de 10 %.
Pour le colorant, le dosage par étalonnage est central. Le rapport A / C des solutions étalons est à peu près constant, ce qui vérifie la loi de Beer-Lambert ; sa valeur moyenne est de 1,40 × 10⁵ L·mol⁻¹. L'absorbance de la boisson, 0,789, donne une concentration de 5,6 × 10⁻⁶ mol·L⁻¹, comprise dans la gamme étalon. Avec la masse molaire de 793 g·mol⁻¹, la concentration massique est d'environ 4,5 mg par litre. Dans le cas le plus défavorable de 10 L, la coureuse ingère au plus 45 mg de colorant.
Reste la dose journalière admissible, de 12,5 mg par kilogramme. La masse de la coureuse n'étant pas donnée, il faut l'estimer : avec 60 kg, la dose admissible vaut 750 mg, très au-dessus des 45 mg calculés. La conclusion ne dépend pas de l'estimation retenue, ce qu'il est utile de signaler.
Pièges à éviter
Ne pas oublier la fourchette de volume bu et raisonner sur le cas qui rend la conclusion la plus solide. Ne pas confondre concentration molaire et concentration massique. Ne pas rester bloqué sur la donnée manquante : une estimation raisonnable, annoncée comme telle, est attendue.
Conseils de méthode
Dans une résolution de problème, commencez par lister ce qu'il faut comparer, puis les grandeurs à calculer pour y parvenir. Rédigez des étapes titrées et terminez par une conclusion qui répond aux deux questions posées. Dilution, loi de Beer-Lambert et dosage par étalonnage restent au programme actuel : cet exercice reste un bon entraînement, même si sa forme de résolution de problème propre à l'ancienne spécialité a disparu.