La télémétrie laser : mesurer la distance Terre-Lune

Le premier exercice du bac S 2013 des centres étrangers vaut 7 points, pour environ 1 h 10 de travail. Il s'appuie sur une expérience réelle : envoyer des impulsions laser vers les réflecteurs déposés sur la Lune et mesurer la durée de leur aller-retour. L'exercice mobilise des notions variées, de la relation entre longueur d'onde et fréquence jusqu'à la précision d'une mesure, en passant par l'énergie du photon et les ordres de grandeur.

Partie 1 : les propriétés du laser

La question 1.1 demande de montrer, avec la relation c = λ·ν, que doubler la fréquence divise la longueur d'onde par deux. La célérité étant constante, λ et ν sont inversement proportionnelles : on passe de 1064 nm, dans l'infrarouge, à 532 nm, dans le vert. La question 1.2.1 attend une propriété propre au laser pulsé : l'énergie est concentrée dans le temps, puisqu'elle est délivrée par impulsions de 20 ps.

La question 1.2.2 justifie la puissance « fantastique » d'une impulsion : p = E/Δt = 200 mJ / 20 ps = 1,0 × 10¹⁰ W, soit 10 GW. Le piège est double. Il faut convertir les millijoules et les picosecondes, et ne pas confondre la durée de l'impulsion avec la précision de l'horloge, notée elle aussi Δt dans un autre document.

Ordres de grandeur et divergence du faisceau

La question 1.3 est un exercice type d'estimation. Le nombre de photons s'écrit N = E·λ/(h·c). En remplaçant chaque grandeur par sa puissance de dix, on obtient N de l'ordre de 10¹⁸ photons par impulsion. Le calcul exact donne environ 5 × 10¹⁷, ce qui confirme l'estimation. La méthode d'arrondi à l'ordre de grandeur est rappelée dans le corrigé.

Les questions 1.4.1 et 1.4.2 portent sur l'élargissement du faisceau. Avec une divergence de 10^-6 rad sur 4 × 10⁸ m, le rayon de la tache atteint environ 4 × 10² m. Le diamètre de la tache vaut donc environ 400 fois le diamètre initial de 2 m. Un schéma simple, avec l'approximation tan α ≈ α pour un petit angle en radians, rend le raisonnement limpide. Attention à convertir la distance Terre-Lune en mètres.

Partie 2 : la mesure de la distance

La question 2.1.1 fait expliciter le calcul des distances du tableau. L'impulsion parcourt un aller-retour, d'où d = c·τ/2. Oublier le facteur 1/2 est l'erreur la plus fréquente, tout comme mal lire l'unité de la colonne des durées, exprimées en 10^-13 s. On trouve 362 215,8509 km. Le nombre de chiffres significatifs fournis montre ensuite une précision du centimètre (question 2.1.2), que seule une horloge atomique peut atteindre (question 2.1.3).

Enfin, la question 2.2 demande deux hypothèses pour expliquer les écarts de mesure : l'orbite elliptique de la Lune, qui fait réellement varier la distance, et la traversée de l'atmosphère, où la lumière est plus lente que dans le vide. D'autres réponses sont recevables, comme la rotation de la Terre pendant la nuit.

Conseils pour réussir

Cet exercice récompense la rigueur sur les unités et les puissances de dix. Écrivez systématiquement les conversions, justifiez le nombre de chiffres significatifs et faites un schéma dès qu'une géométrie intervient. Le laser ne figure plus au programme actuel de spécialité, mais les raisonnements sur l'énergie du photon, les ordres de grandeur et le temps de vol restent tout à fait d'actualité.