Le muon, explorateur de volcan : un exercice de relativité restreinte

Ce premier exercice du sujet de rattrapage de Polynésie 2015, noté sur 6 points, suit une particule étonnante, le muon, depuis la haute atmosphère jusqu'à la radiographie de la Soufrière, en Guadeloupe. Il mobilise la relativité restreinte, la dilatation des durées et le facteur de Lorentz, mais aussi la deuxième loi de Newton, les conversions d'énergie en électronvolts et le calcul d'ordres de grandeur. La relativité restreinte n'est plus au programme actuel de la spécialité : l'exercice reste pourtant un excellent entraînement aux calculs de durées, d'énergies et aux raisonnements à partir de documents.

Partie 1 : des muons qui arrivent au sol

La première question demande de retrouver la durée du trajet d'un muon créé à 20 km d'altitude. En prenant une vitesse égale à c, on obtient Δt = d/c ≈ 6,7 × 10⁻⁵ s, soit environ 67 µs. Le piège classique consiste à laisser la distance en kilomètres. Vient ensuite le postulat d'Einstein : la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens. Les mots « dans le vide » et « référentiels galiléens » font partie de la réponse attendue.

La question 1.1.3 est le cœur conceptuel de l'exercice : le trajet dure environ 30 fois la durée de vie propre du muon. Si cette durée de vie était la même pour un observateur terrestre, presque aucun muon n'atteindrait le sol. Leur détection en grand nombre prouve donc que leur durée de vie, mesurée dans le référentiel terrestre, est dilatée : ΔT = γ ΔT₀ avec γ > 1. Le corrigé insiste sur un réflexe essentiel : préciser le référentiel de chaque durée.

La question 1.2 bascule vers la mécanique. La force magnétique dépend de la vitesse, de la charge et du champ, pas de la masse : elle est identique pour le muon, le proton et l'électron. D'après la deuxième loi de Newton, à force égale, la particule la plus lourde subit la plus faible accélération et sa trajectoire est la moins incurvée. La courbure intermédiaire du muon place sa masse entre celle de l'électron et celle du proton.

Partie 2 : l'expérience du CERN

Avec v = 0,9994 c, le calcul du facteur de Lorentz donne γ ≈ 28,87, soit environ 30 : l'affirmation du document est justifiée. Il faut garder tous les chiffres de 0,9994, sous peine de rendre le calcul impossible. La question suivante vérifie la cohérence entre « 14 ou 15 tours » et « 400 tours » : à vitesse constante, le nombre de tours est multiplié par γ, ce qui donne entre 404 et 433 tours.

Partie 3 : radiographier la Soufrière

Un muon ordinaire de 4 GeV perd en moyenne 2 MeV par centimètre de roche : il est arrêté après environ 20 m, bien moins que la largeur du volcan lue sur la carte. La question 3.2 est un calcul d'ordre de grandeur ouvert : diamètre d'environ 1 km lu à l'échelle, surface de l'ordre de 8 × 10⁹ cm², puis énergie totale d'environ 5 J en une minute, comparable à l'énergie nécessaire pour soulever 500 g d'un mètre. Attention à travailler en cm², puisque le flux est donné par cm², et à convertir les GeV en eV avant de passer en joules.

Enfin, pour un muon de 4 GeV, γ ≈ 37,86 et v/c ≈ 0,99965. Les muons de radiographie, d'énergie supérieure à 1000 GeV, vont encore plus vite : ils sont dits ultra-relativistes.

Conseils pour réussir

Convertissez systématiquement les unités (km en m, GeV en MeV ou en eV), gardez assez de chiffres significatifs dans les calculs relativistes et rédigez les justifications qualitatives en nommant le référentiel. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les calculs et les pièges à éviter.