Oui
Radioactivité et nucléaire
Sujet Bac Corrigé - Datation d'une roche - Métropole 2025 Jour 1 - Ex 2 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2025
Terminale spécialité
⏳ Quel âge a la roche du site de Meymac ? L'exercice 2 du bac 2025 de physique-chimie en Métropole (jour 1), sur 6 points, y répond grâce au couple rubidium 87 et strontium 87.
- Le cours de radioactivité : isotopes, équation de la désintégration β-, temps de demi-vie.
- Le raisonnement sur les demi-vies : nombre maximal de demi-vies avant que la datation devienne impossible.
- La loi de décroissance : équation différentielle, passage au logarithme, puis âge de la roche lu dans le coefficient directeur d'une droite.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
Fiche de cours
Décroissance radioactive — Terminale spécialité physique-chimie
L'essentiel du cours, les formules et les méthodes utiles pour cet exercice, sur une page gratuite.
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Corrigé interactif · 12 questions
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Q1Rappeler la définition de noyaux isotopes.
Des noyaux isotopes ont le même nombre de protons Z (même élément chimique) mais des nombres de neutrons N différents, donc des nombres de masse A différents.
Tu avais trouvé ?
Q2Écrire l'équation de la désintégration du rubidium 87 indiquée par la flèche sur l'extrait du diagramme (N,Z).
Indice Lire A et Z des deux noyaux sur le diagramme, puis appliquer les deux lois de conservation (nombre de masse et charge) pour identifier la particule émise.
La flèche part de X3787X237287Rb et arrive sur X3887X238287Sr : le noyau fils a un proton de plus et un neutron de moins.
Conservation du nombre de masse : 87=87+0. Conservation de la charge : 37=38+(−1). La particule émise est donc X−10X2−120e.
X3787X237287RbX3887X238287Sr+X−10X2−120e Tu avais trouvé ?
Q3Préciser à quel type de désintégration correspond cette transformation nucléaire.
La particule émise est un électron X−10X2−120e.
Il s'agit d'une désintégration β−.
Tu avais trouvé ?
Q4Rappeler la définition du temps de demi-vie t1/2.
Le temps de demi-vie t1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon s'est désintégrée.
Tu avais trouvé ?
Q5Déterminer, en justifiant, le nombre maximal de demi-vies après lequel il reste assez de rubidium 87 dans l'échantillon pour qu'on puisse le détecter.
Données utiles NRb(0)=5,8×1020 ; Nmin=2,0×109 ; 238<2,0×1095,8×1020<239
À chaque demi-vie, le nombre de noyaux est divisé par 2. Après n demi-vies :
NRb(nt1/2)=2nNRb(0)
La datation reste possible si 2nNRb(0)⩾Nmin, soit 2n⩽NminNRb(0).
Or 238<NminNRb(0)<239 : la condition est vérifiée pour n=38, elle ne l'est plus pour n=39.
Le nombre maximal de demi-vies est n=38.
Tu avais trouvé ?
Q6Justifier que le rubidium 87 est adapté pour dater un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac.
Données utiles t1/2=49,2×109 a ; n=38 (Q5) ; site âgé de plusieurs centaines de millions d'années
Durée maximale pendant laquelle la datation est possible :
tmax=38×t1/2=38×49,2×109=1,9×1012 a
Le site est âgé de quelques 108 a, soit plusieurs milliers de fois moins que tmax.
tmax=1,9×1012 a, très supérieur à l'âge du site : il reste bien assez de rubidium 87, cet isotope est adapté.
Tu avais trouvé ?
Q7Vérifier que NRb(t)=NRb(0)e−λt est solution de l'équation différentielle dtdNRb(t)=−λNRb(t).
Indice Pour vérifier une solution, on ne résout pas l'équation : on calcule séparément la dérivée de l'expression proposée, puis on montre qu'elle est égale au second membre.
On dérive l'expression proposée par rapport au temps, NRb(0) et λ étant des constantes :
dtdNRb(t)=NRb(0)×(−λ)e−λt=−λ×NRb(0)e−λt
On reconnaît NRb(t) dans le second membre :
dtdNRb(t)=−λNRb(t) : l'expression proposée est bien solution.
Tu avais trouvé ?
Q8Déterminer l'expression de tf, date à laquelle il reste Nmin noyaux de rubidium 87, en fonction de Nmin, NRb(0) et λ.
À la date tf : NRb(tf)=Nmin, donc NRb(0)e−λtf=Nmin.
e−λtf=NRb(0)Nmindonc−λtf=ln(NRb(0)Nmin)
tf=−λ1ln(NRb(0)Nmin)=λ1ln(NminNRb(0))
Tu avais trouvé ?
Q9Calculer la valeur de tf puis la comparer à la réponse donnée dans la question Q6. Commenter.
Données utiles λ=1,41×10−11 a−1 ; NRb(0)=5,8×1020 ; Nmin=2,0×109 ; tmax=1,9×1012 a (Q6)
tf=1,41×10−111×ln(2,0×1095,8×1020)=1,9×1012 a
On retrouve la durée 38t1/2=1,9×1012 a de la question Q6 : les deux méthodes sont cohérentes. La valeur tf est très légèrement supérieure à 38t1/2, car le rapport NminNRb(0) dépasse un peu 238.
tf=1,9×1012 a, en accord avec Q6 : le rubidium 87 permet de dater des roches bien plus anciennes que celle de Meymac.
Tu avais trouvé ?
Q10Donner la relation entre NSr formeˊ(t), NRb(0) et NRb(t), sachant que pour un noyau de rubidium 87 qui se désintègre, un noyau de strontium 87 se forme.
Le nombre de noyaux de strontium 87 formés à la date t est égal au nombre de noyaux de rubidium 87 qui se sont désintégrés depuis t=0, c'est-à-dire le nombre initial moins le nombre restant.
NSr formeˊ(t)=NRb(0)−NRb(t)
Tu avais trouvé ?
Q11En déduire l'égalité NSr formeˊ(t)=NRb(t)(eλt−1) (équation 2).
D'après la loi de décroissance, NRb(t)=NRb(0)e−λt, donc NRb(0)=NRb(t)eλt.
On remplace dans la relation de la question Q10 :
NSr formeˊ(t)=NRb(t)eλt−NRb(t)
NSr formeˊ(t)=NRb(t)(eλt−1) : on retrouve l'équation 2.
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Q12Déterminer l'âge troche de la roche du site de Meymac.
Données utiles modélisation de la figure 1 : y=0,7105+0,0042x ; équation 3 : y=b+(eλt−1)x ; λ=1,41×10−11 a−1
Les échantillons sont prélevés à la date troche. Par identification, le coefficient directeur de la droite modèle vaut :
eλtroche−1=0,0042donceλtroche=1,0042
troche=λln(1,0042)=1,41×10−11ln(1,0042)=3,0×108 a
troche=3,0×108 a, soit environ 300 millions d'années, en accord avec « plusieurs centaines de millions d'années ».
yx Figure 1 du sujet : la droite modèle a pour ordonnée à l'origine b=0,7105 et pour coefficient directeur eλt−1=0,0042Tu avais trouvé ?
Datation d'une roche : un exercice de radioactivité sur 6 points
Le deuxième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Métropole (jour 1) vaut 6 points et se traite en un peu plus d'une heure. Il s'agit de dater une roche du site de Meymac grâce au couple rubidium 87 et strontium 87. Les 12 questions suivent une progression très classique : définitions de cours, équation d'une désintégration, raisonnement sur les demi-vies, loi de décroissance exponentielle, puis exploitation d'une droite de modélisation pour obtenir l'âge de la roche.
Isotopes et désintégration (Q1 à Q4)
Des noyaux isotopes ont le même nombre de protons mais des nombres de neutrons différents. Sur le diagramme (N,Z), la flèche relie le rubidium 87 (Z = 37) au strontium 87 (Z = 38) : le nombre de masse est conservé et la charge impose l'émission d'un électron. L'équation est donc celle d'une désintégration β-. Le piège est la confusion avec β+, qui ferait diminuer Z. La définition du temps de demi-vie termine ce bloc de cours : c'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s'est désintégrée.
Combien de demi-vies avant que la datation devienne impossible (Q5 et Q6)
Après n demi-vies, le nombre de noyaux est divisé par 2n. La datation reste possible tant qu'il reste au moins Nmin = 2,0 × 109 noyaux. L'encadrement fourni par l'énoncé conduit à n = 38 au maximum. Répondre 39 est l'erreur typique : après 39 demi-vies, il ne reste plus assez de rubidium. Avec une demi-vie de 49,2 milliards d'années, la durée maximale de datation vaut 1,9 × 1012 ans, très supérieure à l'âge du site, de quelques centaines de millions d'années.
La loi de décroissance (Q7 à Q9)
Pour vérifier que NRb(t) = NRb(0)e-λt est solution de l'équation différentielle, on ne résout rien : on dérive l'expression proposée et on reconnaît le second membre. L'expression de tf s'obtient en passant au logarithme ; attention au signe, car le logarithme d'un rapport inférieur à 1 est négatif, et une date négative doit alerter. L'application numérique avec λ = 1,41 × 10-11 a-1 redonne 1,9 × 1012 ans, en accord avec la méthode des demi-vies. Inutile de convertir λ en s-1 : il est en a-1, le résultat sort directement en années.
Le principe de la datation rubidium-strontium (Q10 à Q12)
Chaque noyau de rubidium qui se désintègre donne un noyau de strontium : le nombre de noyaux de strontium formés est la différence entre le nombre initial et le nombre restant de rubidium. En éliminant NRb(0), inconnu des géologues, on obtient l'équation 2. La dernière question est la plus rentable : le coefficient directeur de la droite modèle, 0,0042, vaut eλt - 1. On en déduit un âge de 3,0 × 108 ans, environ 300 millions d'années. Le piège consiste à utiliser l'ordonnée à l'origine, qui correspond au strontium présent dès la formation de la roche.
Conseils
Cet exercice est accessible si le cours de radioactivité est su. Soignez les chiffres significatifs : un coefficient directeur connu avec deux chiffres ne permet pas d'annoncer un âge avec trois. Et relisez chaque résultat à la lumière de l'énoncé, qui parle de plusieurs centaines de millions d'années.