Corrigé interactif · 6 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1À l'aide de la relation de Bernoulli appliquée à la statique des fluides, montrer que 1,00 mmHg correspond à une différence de pression de 133 Pa.
Données utiles ρ(Hg)=13,6×103 kg⋅m−3 ; g=9,81 N⋅kg−1 ; écart d'altitude : 1,00 mm=1,00×10−3 m
Le mercure est immobile : vA=vB=0. La relation de Bernoulli se réduit à
PA+ρgzA=PB+ρgzBsoitPA−PB=ρ(Hg)g(zB−zA)
Pour deux points de la colonne de mercure tels que zB−zA=1,00 mm :
PA−PB=13,6×103×9,81×1,00×10−3=133 Pa
1,00 mmHg correspond à PA−PB=133 Pa, la valeur attendue.
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Q2Déterminer la différence de pression PA−PB en pascals, puis en mmHg.
Données utiles vA=1,0 m⋅s−1 ; vB=4,2 m⋅s−1 ; ρ(sang)=1,05×103 kg⋅m−3 ; 1,00 mmHg=133 Pa (Q1)
L'écoulement est horizontal : zA=zB. La relation de Bernoulli entre A et B, sur la même ligne de courant, devient
PA+21ρvA2=PB+21ρvB2doncPA−PB=21ρ(sang)(vB2−vA2)
PA−PB=21×1,05×103×(4,22−1,02)=8,7×103 Pa
En mmHg : 1338,736×103=66 mmHg
PA−PB=8,7×103 Pa≈66 mmHg
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Q3Justifier, à l'aide des résultats et des données précédentes, que le patient analysé a un rétrécissement aortique serré.
Données utiles dA=20,2 mm=2,02 cm ; vA=1,0 m⋅s−1 ; vB=4,2 m⋅s−1 ; PA−PB≈66 mmHg (Q2)
Indice Question à critères multiples : les lister, traiter d'abord ceux qui sont immédiats, puis chercher la relation qui donne la grandeur manquante. Ici, DV=S×v relie section et vitesse.
Trois critères doivent être réunis.
Vitesse : vB=4,2 m⋅s−1>4 m⋅s−1. Critère vérifié.
Différence de pression : PA−PB≈66 mmHg>50 mmHg. Critère vérifié.
Section en B : le sang est incompressible et l'écoulement permanent, donc le débit volumique se conserve entre A et B :
SAvA=SBvBavecSA=π(2dA)2doncSB=π(2dA)2×vBvA
SB=π×(22,02)2×4,21,0=0,76 cm2<1 cm2
Critère vérifié.
SB=0,76 cm2 : les trois critères sont réunis, le patient présente un rétrécissement aortique serré.
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Q4Expliquer pourquoi la résistance à l'écoulement du sang dans un capillaire est très supérieure à celle dans une artère ou dans une veine.
D'après R=πd464Lη, la résistance à l'écoulement est inversement proportionnelle à d4, la viscosité η du sang étant la même partout.
La figure 3 montre qu'un capillaire a un diamètre bien plus petit que celui de l'artère ou de la veine. Élevé à la puissance 4, cet écart devient considérable.
R varie comme d41 : le très petit diamètre d'un capillaire lui donne une résistance très supérieure.
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Q5Calculer le débit volumique du sang dans un capillaire.
Données utiles P1=16,0×103 Pa ; P2=1,3×103 Pa ; R=1,0×1016 S.I.
Chaque capillaire relie l'artère (pression P1) à la veine (pression P2) : ∣ΔP∣=P1−P2.
Comme ∣ΔP∣=R×DV :
DV=RP1−P2=1,0×101616,0×103−1,3×103=1,5×10−12 m3⋅s−1
DV=1,5×10−12 m3⋅s−1
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Q6Montrer que le nombre NC de capillaires parcourus par le sang est en accord avec « un réseau de plusieurs millions de capillaires ».
Données utiles débit dans l'artère : DV,arteˋre=5×10−6 m3⋅s−1 ; débit dans un capillaire : DV=1,47×10−12 m3⋅s−1 (Q5)
Le débit de l'artère se répartit également entre les NC capillaires identiques : DV,arteˋre=NC×DV.
NC=DVDV,arteˋre=1,47×10−125×10−6=3×106
NC≈3×106, soit environ 3 millions de capillaires : c'est bien « plusieurs millions ».
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Des écoulements sanguins : la mécanique des fluides en 5 points
L'exercice 2 du bac 2025 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 1) est le plus court du sujet : 5 points sur 20, environ 53 minutes. En six questions, il applique la mécanique des fluides à la circulation du sang : relation de Bernoulli, statique des fluides, conservation du débit volumique, effet Venturi et résistance à l'écoulement dans les capillaires. Les calculs sont simples, mais chaque question demande de bien choisir la relation et de soigner les unités.
Le millimètre de mercure (Q1)
On commence par justifier une unité médicale. Le mercure étant immobile, la relation de Bernoulli se réduit à la loi fondamentale de la statique des fluides. Pour un écart d'altitude de 1,00 mm, converti en mètre, et avec la masse volumique du mercure, on obtient 133 Pa. Les deux erreurs à éviter : prendre la masse volumique du sang, ou oublier la conversion du millimètre.
La pression dans le rétrécissement aortique (Q2 et Q3)
Le sang passe de 1,0 à 4,2 m·s-1 dans la zone rétrécie. L'écoulement étant horizontal, les termes d'altitude disparaissent et la différence de pression vaut la moitié de la masse volumique du sang multipliée par la différence des carrés des vitesses. Attention à ne pas écrire le carré de la différence. On trouve 8,7 × 103 Pa, soit environ 66 mmHg en repartant de la valeur non arrondie. Le sang accélère et sa pression baisse : c'est l'effet Venturi.
La question 3 est une question à critères multiples. La vitesse dépasse 4 m·s-1 et la différence de pression dépasse 50 mmHg : deux critères sont immédiats. Pour le troisième, la conservation du débit volumique, valable pour un fluide incompressible en écoulement permanent, donne la section en B à partir du diamètre en A et du rapport des vitesses. On trouve 0,76 cm2, inférieure à 1 cm2 : le rétrécissement est serré. Utilisez bien le rayon, et non le diamètre, dans l'aire du disque.
Les capillaires (Q4 à Q6)
La résistance à l'écoulement est inversement proportionnelle à la puissance quatre du diamètre. Comme un capillaire est bien plus fin qu'une artère ou une veine, sa résistance est très supérieure : un diamètre dix fois plus petit donne, à longueur égale, une résistance dix mille fois plus grande. Le débit dans un capillaire s'obtient en divisant la différence de pression entre artère et veine par la résistance, soit 1,5 × 10-12 m3·s-1. Diviser la seule pression de l'artère serait une erreur : c'est la différence de pression qui provoque l'écoulement. Enfin, le débit de l'artère se répartit entre les capillaires, ce qui donne environ 3 millions de capillaires, en accord avec les « plusieurs millions » de l'énoncé.
Conseils pour réussir cet exercice
Écrivez toujours la relation de Bernoulli complète avant de la simplifier, en justifiant chaque terme qui disparaît. Gardez les valeurs non arrondies pour les calculs suivants et adaptez le nombre de chiffres significatifs aux données. Le corrigé détaillé reprend les six questions avec les calculs et les pièges à éviter.