Oui
Mouvement dans un champ de pesanteur
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Saut des crapauds - Métropole 2023 Jour 2 - Ex 2 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2023
Terminale spécialité
🐸 Quelle hauteur donner à une barrière pour protéger les crapauds lors de leur migration ? L'exercice 2 du bac 2023 de physique-chimie en Métropole (jour 2), sur 5 points, met leur saut en équations.
- Deuxième loi de Newton : accélération, vitesse et équations horaires d'un saut sans frottements.
- Durée et longueur du saut : instant de réception, portée, vitesse initiale des crapauds les plus puissants.
- Saut vertical : hauteur maximale, hauteur minimale de barrière et regard critique sur les barrières réelles de 50 à 60 cm.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges signalés question par question.
Fiche de cours
Mouvement dans un champ uniforme — Terminale spécialité physique-chimie
L'essentiel du cours, les formules et les méthodes utiles pour cet exercice, sur une page gratuite.
Voir la fiche de coursCet exercice mobilise aussi : Deuxième loi de Newton
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Corrigé interactif · 9 questions
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Q1Établir les expressions littérales des composantes
ax et
az du vecteur accélération
aG du centre de masse du crapaud.
Système {crapaud}, de masse m constante ; référentiel terrestre supposé galiléen.
Bilan des forces : le poids P=mg uniquement, les frottements de l'air étant négligés.
Deuxième loi de Newton : ∑Fext=maG, soit mg=maG, donc aG=g.
Le vecteur g est vertical et dirigé vers le bas, l'axe (Oz) est orienté vers le haut :
ax=0 et az=−g
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Q2Établir les expressions littérales des composantes
vx(t) et
vz(t) du vecteur vitesse
vG du centre de masse du crapaud.
Indice Accélération, puis vitesse, puis position : à chaque étape, on prend une primitive et on fixe la constante avec la valeur à t=0.
Par définition aG=dtdvG : on cherche les primitives de ax=0 et de az=−g.
vx(t)=C1vz(t)=−gt+C2
Conditions initiales : à t=0, vG=v0 de composantes v0cos(α) selon (Ox) et v0sin(α) selon (Oz). Donc C1=v0cos(α) et C2=v0sin(α).
vx(t)=v0cos(α) et vz(t)=−gt+v0sin(α)
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Q3Montrer que les équations horaires s'écrivent x(t)=v0cos(α)t et z(t)=−21gt2+v0sin(α)t.
Par définition vG=dtdOG : on cherche les primitives de vx(t) et de vz(t).
x(t)=v0cos(α)t+C3z(t)=−21gt2+v0sin(α)t+C4
Conditions initiales : à t=0, G est en O, donc x(0)=0 et z(0)=0, ce qui donne C3=0 et C4=0.
x(t)=v0cos(α)t et z(t)=−21gt2+v0sin(α)t : ce sont les expressions attendues.
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Q4Établir l'expression de la durée du saut du crapaud, notée tsaut, en fonction de v0, g et α.
Le saut se termine quand le crapaud retombe au sol : z(tsaut)=0.
−21gtsaut2+v0sin(α)tsaut=0soittsaut(−21gtsaut+v0sin(α))=0
La solution tsaut=0 correspond au départ ; on garde l'autre : 21gtsaut=v0sin(α).
tsaut=g2v0sin(α)
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Q5À l'aide de
x(t) et de
tsaut, montrer que la vitesse permettant un saut de longueur
d est
v0=2sin(α)cos(α)gd.
Données utiles tsaut=g2v0sin(α) (Q4)
Indice Portée d'un tir depuis le sol : 1) date de retour au sol avec z(t)=0 ; 2) report de cette date dans x(t). La même démarche sert pour un ballon, un projectile ou un jet d'eau.
La longueur du saut est l'abscisse de G à la date tsaut : d=x(tsaut).
d=v0cos(α)×g2v0sin(α)=g2v02sin(α)cos(α)
On isole v02 : v02=2sin(α)cos(α)gd
Une norme est positive, on garde la racine positive :
v0=2sin(α)cos(α)gd : c'est la relation attendue. Tu avais trouvé ?
Q6Les crapauds les plus puissants sautent une longueur égale à 20 fois leur taille. Calculer la valeur de v0 qu'ils atteignent pour α=45°.
Données utiles taille moyenne : 10 cm ; g=9,81 m⋅s−2 ; relation de Q5
Longueur du saut : d=20×10 cm=2,0×102 cm=2,0 m.
v0=2sin(α)cos(α)gd=2×sin(45°)×cos(45°)9,81×2,0
v0=4,4 m⋅s−1
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Q7Pour un saut vertical (α=90°), établir que la hauteur maximale a pour expression zmax=2gv02.
Indice Autre voie, plus courte : le poids est la seule force, l'énergie mécanique se conserve. Entre le départ et le sommet, 21mv02=mgzmax, d'où le résultat.
Pour α=90°, sin(α)=1 : vz(t)=−gt+v0 et z(t)=−21gt2+v0t.
Au sommet, à la date tmax, la vitesse verticale s'annule : −gtmax+v0=0, donc tmax=gv0.
zmax=z(tmax)=−21g(gv0)2+v0×gv0=−2gv02+gv02
zmax=2gv02 : c'est l'expression attendue.
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Q8En déduire la valeur de la hauteur de barrière minimale Hchampion qui arrête les crapauds les plus puissants, sautant verticalement avec la vitesse v0 de la question Q6.
Données utiles v0=4,43 m⋅s−1, valeur non arrondie (Q6) ; g=9,81 m⋅s−2
La barrière doit être au moins aussi haute que le saut vertical le plus haut : Hchampion=zmax.
Hchampion=2gv02=2×9,814,432
Hchampion=1,0 m
Tu avais trouvé ?
Q9Les barrières mesurent en réalité 50 à 60 cm. Donner un argument expliquant pourquoi on installe des barrières d'une hauteur inférieure à Hchampion.
Données utiles Hchampion=1,0 m (Q8)
La hauteur de 1,0 m correspond à un cas extrême : un crapaud parmi les plus puissants, qui sauterait exactement à la verticale.
Or un crapaud qui se déplace saute vers l'avant, en oblique : pour une même vitesse initiale, la hauteur atteinte est alors plus faible. Pour α=45° par exemple, la composante verticale de la vitesse est v0sin(45°) et la hauteur atteinte vaut 2g(v0sin(45°))2=0,50 m.
De plus, la plupart des crapauds sautent moins loin que 20 fois leur taille.
Une barrière de 50 à 60 cm suffit à arrêter la quasi-totalité des crapauds, pour un coût et un encombrement moindres.
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Protéger les crapauds : un exercice de mécanique de 5 points
Le deuxième exercice du bac 2023 de physique-chimie en Métropole (jour 2) vaut 5 points, pour une durée conseillée d'environ 53 minutes. Le contexte est original : des barrières sont installées le long des routes pour protéger les crapauds pendant leur migration. Il s'agit de savoir quelle hauteur elles doivent atteindre. Derrière ce contexte se cache un grand classique du programme de terminale : le mouvement d'un système dans un champ de pesanteur uniforme, étudié avec la deuxième loi de Newton. Les neuf questions s'enchaînent de façon très guidée.
De la loi de Newton aux équations horaires (Q1 à Q3)
La première question exige une rédaction complète : système {crapaud}, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces réduit au poids puisque les frottements de l'air sont négligés. La deuxième loi de Newton donne alors un vecteur accélération égal à g, soit ax = 0 et az = -g. Le signe moins vient de l'orientation de l'axe (Oz) vers le haut. On obtient ensuite la vitesse par primitive, en fixant les constantes avec les conditions initiales : v0cos(α) sur l'axe horizontal et v0sin(α) sur l'axe vertical. Échanger sinus et cosinus est une erreur fréquente. Pour les équations horaires, l'énoncé fournit le résultat : dans un « montrer que », il faut faire apparaître les constantes d'intégration et justifier qu'elles sont nulles, puisque le crapaud part de l'origine.
Durée, longueur et vitesse du saut (Q4 à Q6)
Le saut se termine quand z(t) = 0. En factorisant, on obtient deux solutions : l'instant du départ et celui de la réception, tsaut = 2v0sin(α)/g. Il vaut mieux nommer ces deux solutions que diviser sans justification. En reportant cette durée dans x(t), on obtient la longueur du saut, puis l'expression de v0 demandée. Cette démarche en deux temps sert pour tout calcul de portée. L'application numérique porte sur les crapauds les plus puissants, qui sautent 20 fois leur taille de 10 cm, soit 2,0 m. Avec un angle de 45°, on trouve v0 = 4,4 m/s. Deux pièges guettent : laisser la distance en centimètres et utiliser une calculatrice réglée en radians.
Le saut vertical et la hauteur des barrières (Q7 à Q9)
Pour un saut vertical, le sommet est atteint quand la vitesse verticale s'annule, et non quand z(t) = 0, condition qui correspond au retour au sol. On en déduit zmax = v02/(2g). La conservation de l'énergie mécanique offre une voie plus courte vers le même résultat. Avec la valeur non arrondie de la vitesse, la hauteur minimale de barrière vaut 1,0 m. Réutiliser la valeur arrondie donne 0,99 m, d'où l'intérêt de garder le résultat en mémoire. La dernière question demande un regard critique : les barrières réelles mesurent 50 à 60 cm, car un crapaud saute en oblique et la plupart sautent moins loin que les champions. Un seul argument pertinent suffit.
Conseils pour réussir
Cet exercice est très proche du cours : il récompense une rédaction rigoureuse plus que l'astuce. Annoncez toujours le système, le référentiel et les forces, écrivez les constantes d'intégration et vérifiez les unités avant chaque application numérique.