Deux télescopes spatiaux, deux façons d'appliquer la mécanique

Le troisième exercice du Bac S 2013 Antilles-Guyane rattrapage vaut 5 points, soit environ 50 minutes. Il compare le télescope Hubble, en orbite autour de la Terre, et le télescope James Webb, placé au point de Lagrange L2. La première partie est une étude classique de satellite en mouvement circulaire, la seconde porte sur le décollage du lanceur Ariane 5 et sur le choix du point L2.

Trajectoire et uniformité du mouvement (questions 1.1 et 1.2)

L'altitude de Hubble est quasi constante : dans le référentiel géocentrique, sa trajectoire est un cercle centré sur le centre de la Terre, de rayon R_T + h. Il faut toujours préciser le centre et le rayon. Pour montrer que le mouvement est uniforme, la démarche est la même pour tout satellite : système, référentiel géocentrique supposé galiléen, bilan des forces réduit à l'attraction de la Terre, deuxième loi de Newton, puis écriture de l'accélération dans le repère de Frenet. La composante tangentielle est nulle, donc dv/dt = 0. Le piège est d'affirmer que l'accélération est nulle : elle est centripète.

Vitesse, période et troisième loi de Kepler (questions 1.3 à 1.5)

L'identification selon le vecteur normal donne v = √(GM_T/(R_T + h)) : la masse du satellite disparaît. La période est la durée d'un tour, d'où T = 2π(R_T + h)/v ; attention à ne pas prendre 2πh comme longueur d'orbite. En combinant ces deux résultats, on obtient T²/r³ = 4π²/(GM_T). En énonçant la troisième loi de Kepler, il faut préciser qu'elle concerne les satellites d'un même astre attracteur.

Période de Hubble (question 1.6)

Avec r = 6 970 km converti en mètres, le calcul donne T = 5,79 × 10³ s, soit 96,6 min, environ 1 h 37 min. Laisser r en kilomètres fausse complètement le résultat, car G est exprimée en unités SI.

Le décollage d'Ariane 5 (questions 2.1.1 à 2.1.4)

Le poids vaut P = Mg = 7,6 × 10⁶ N, après conversion des 780 tonnes en kilogrammes. La poussée de 14,0 × 10⁶ N vaut presque le double : la fusée peut décoller. En projetant la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le haut, on obtient a_z = F/M − g ; le signe du poids est la principale source d'erreur. La relation fournie donne une altitude d'environ 4,1 × 10² m au bout de 10 s. L'altitude réelle est plus faible car les frottements de l'air, négligés, ont un travail résistant : une partie de l'énergie est dissipée sous forme thermique et l'énergie mécanique acquise est plus faible que prévu.

Pourquoi le point L2 (question 2.2)

Au point L1, situé entre le Soleil et la Terre, le télescope serait gêné par le rayonnement des deux astres. Au point L2, le Soleil et la Terre restent dans la même direction : le télescope leur tourne le dos et observe l'Univers lointain sans être ébloui, abrité notamment du rayonnement infrarouge solaire.

Conseils pour réussir

Apprenez la démarche complète de l'étude d'un satellite, elle tombe très souvent. Rédigez proprement le système, le référentiel et les forces avant tout calcul, et convertissez toutes les longueurs en mètres et les masses en kilogrammes.