Vol d'une montgolfière : un exercice de 10 points entre mécanique et thermique

Cet exercice, le plus long de l'épreuve de septembre 2021 (Métropole, sujet 2), suit une montgolfière en vol à 1,5 km d'altitude. Il mobilise deux grandes parties du programme de terminale : le modèle du gaz parfait et l'équilibre d'un système soumis à la poussée d'Archimède, puis les transferts thermiques et le bilan énergétique du ballon. Il est prévu pour environ 1 h 45.

Partie 1 : masse volumique et équilibre de la montgolfière

La question 1.1.1 demande d'exprimer la masse volumique de l'air intérieur à partir de l'équation d'état du gaz parfait : en écrivant n = m/M puis ρ = m/V, on obtient ρ_int = p·M_air/(R·T). Ce résultat traduit le principe même de la montgolfière : à pression fixée, l'air chaud est moins dense que l'air froid. L'application numérique (1.1.2) passe par une lecture graphique de la pression à 1500 m, environ 8,5 × 10⁴ Pa, et conduit à 0,79 kg·m⁻³. Le piège classique consiste à garder la masse molaire en g·mol⁻¹, ce qui donne un résultat mille fois trop grand.

Les questions 1.2 reposent sur le principe d'inertie : la montgolfière immobile subit son poids et la poussée d'Archimède, deux forces verticales de sens opposés qui se compensent. Il faut les tracer avec la même longueur, même « sans souci d'échelle », et ne pas oublier le signe moins dans l'expression du poids, l'axe vertical étant orienté vers le haut. La question 1.2.4, ouverte, est la plus riche : la masse totale du système vaut ρ_ext·V ≈ 2,33 × 10³ kg, mais elle inclut l'air chaud du ballon (1760 kg), l'enveloppe (55 kg) et la nacelle (56 kg). Il reste environ 461 kg embarqués, de quoi emporter les quatre bonbonnes de propane (160 kg) et trois passagers, sans grande marge. S'arrêter à la masse totale est un piège fréquent.

Partie 2 : transferts thermiques et autonomie

Après la description des trois modes de transfert (conduction, convection, rayonnement), l'exercice demande un bilan de flux en régime stationnaire : la somme des flux reçus est égale à la somme des flux cédés. Le flux rayonné P_r = ε·σ·S·T⁴ vaut environ 4,7 × 10⁵ W, à condition de prendre la température de l'enveloppe (325 K) et de ne pas oublier la puissance 4. Le flux conducto-convectif Φ = ΔT/R_th vaut environ 1,3 × 10⁵ W. On en déduit le flux de combustion nécessaire en croisière, environ 4,3 × 10⁵ W, en reprenant les valeurs non arrondies des questions précédentes.

La question 2.6 calcule le flux fourni par le brûleur en fonctionnement, environ 3,2 × 10⁶ W, avec deux conversions à ne pas manquer : les grammes en kilogrammes et les mégajoules en joules. La dernière question, ouverte, exploite la figure 4 : le brûleur fonctionne environ 2,2 s toutes les 20 s, ce qui donne une autonomie d'environ 3 h avec 80 kg de propane, soit trois fois la durée moyenne d'une sortie. Diviser directement 80 kg par 68 g·s⁻¹ donne la durée de fonctionnement continu du brûleur, pas celle du vol.

Conseils pour réussir

Soignez les conversions d'unités, annoncez clairement vos lectures graphiques et structurez les questions ouvertes : bilan des forces ou des flux, inventaire, calcul, puis comparaison avec les informations du texte. Une démarche claire et annoncée est valorisée, même lorsque la lecture d'un graphique reste approximative.