La congélation de l'eau : deux modèles pour une même durée

L'exercice 4 du sujet 1 des centres étrangers 2021 est le troisième exercice de 5 points proposé au choix, à traiter en 55 minutes environ. On place 150 g d'eau à 23,0 °C dans un congélateur et l'on cherche à estimer la durée de refroidissement jusqu'à 0 °C. Un premier modèle, à puissance constante, est ensuite amélioré grâce à la loi de Newton. L'exercice couvre l'essentiel de la thermodynamique de terminale : transferts thermiques, premier principe, flux et équation différentielle.

Sens des transferts et changement d'état

Un transfert thermique se fait spontanément du corps le plus chaud vers le plus froid : ici de l'eau vers l'air du congélateur. Le système perd de l'énergie, donc Q < 0. Pendant la phase b, l'eau se solidifie en cédant de l'énergie : la solidification est exothermique, même si la température reste constante. Il faut éviter de parler de « froid qui entre dans l'eau » : seule l'énergie se déplace.

Premier principe et première estimation

Pour l'eau liquide, système incompressible, ΔU = m·c_eau·ΔT. Sans travail échangé, le premier principe donne Q_r = ΔU = 0,150 × 4185 × (0 − 23,0), soit −14,4 kJ. Deux erreurs guettent : laisser la masse en grammes alors que la capacité thermique est donnée par kilogramme, et inverser les températures, ce qui change le signe. Avec une puissance de refroidissement de 40 W, la durée vaut |Q_r|/P = 3,6 × 10² s, soit environ 6 minutes. On utilise la valeur absolue de l'énergie, une durée ne pouvant pas être négative.

Le modèle de Newton

Les flux thermiques valent −38 W au début et −17 W à la fin. Le premier est proche des 40 W du dispositif, le second en représente moins de la moitié. Le premier modèle surestime donc l'énergie cédée chaque seconde : avec la loi de Newton, le flux diminue à mesure que l'eau se refroidit. On écrit ensuite Q = Φ·Δt pour une durée très petite, puis un bilan d'énergie m·c_eau·ΔT = Φ·Δt avec Φ = −hS(T − T_th). En divisant par Δt et en passant à la limite, on obtient dT/dt = −r(T − T_th), avec r = hS/(m·c_eau) = 1,5 × 10⁻³ s⁻¹. La vérification de l'unité, des W/J donc des s⁻¹, est demandée.

Une durée plus réaliste

La phase a se termine lorsque T(t) = 0 °C. Il faut isoler l'exponentielle, puis prendre le logarithme : t = (1/r)·ln[(T_a − T_th)/(T_s − T_th)], soit environ 5,6 × 10² s, un peu plus de 9 minutes. Le refroidissement est environ 1,5 fois plus long que dans la première estimation. En ajoutant les 21 minutes annoncées pour le changement d'état, on reste loin de l'heure mesurée : il faudrait appliquer aussi la loi de Newton à la phase b pour expliquer l'écart.

Les pièges à éviter

Arrondir r à 1,5 × 10⁻³ s⁻¹ avant le dernier calcul donne 5,5 × 10² s au lieu de 5,6 × 10² s : gardez la valeur complète en mémoire dans la calculatrice. Comparez aussi les valeurs absolues des flux à la puissance, le signe indiquant seulement que l'eau perd de l'énergie.

Conseils

Retenez la méthode en trois temps pour établir une équation différentielle en thermique : bilan d'énergie sur une petite durée, remplacement des expressions, passage à la limite. Cet exercice convient à un candidat qui maîtrise le premier principe et les logarithmes.