Optique et thermodynamique au service de l'astronomie

L'exercice 2 du sujet 1 de Métropole, septembre 2021, vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il décrit une expérience de mesure de la puissance lumineuse renvoyée par la Lune : un petit capteur de température, placé dans une lunette astronomique, s'échauffe sous l'effet de la lumière reçue. L'exercice mêle deux chapitres que l'on rencontre rarement ensemble, l'optique de la lunette et le bilan d'énergie d'un système.

Partie 1 : la lunette afocale

Questions 1.1 et 1.2 : foyers et position du capteur

Une lunette est afocale lorsque le foyer image F'₁ de l'objectif et le foyer objet F₂ de l'oculaire sont confondus. Le capteur se place à cet endroit, sur l'axe optique, là où se forme l'image intermédiaire. Le piège est de le mettre en F₁, seul foyer déjà marqué sur l'annexe : c'est le foyer objet, situé avant l'objectif.

Question 1.3 : le faisceau émergent

Le tracé demande de la méthode : les rayons incidents, inclinés d'un angle α, convergent en un point B₁ du plan focal image de l'objectif. Ils ressortent de l'oculaire parallèles entre eux, dans la direction de la droite (B₁O₂). Le faisceau émergent est plus incliné que le faisceau incident et repart de l'autre côté de l'axe.

Question 1.4 : la taille de l'image intermédiaire

La région observée est vue sous un angle 2α = 2,3 × 10⁻³ rad. Avec une distance focale de 101 cm, l'image intermédiaire mesure 2,3 mm, plus que le côté du capteur, qui est de 0,8 mm : le capteur est entièrement éclairé et la mesure est optimale. Attention à ne pas prendre 2,3 × 10⁻³ rad pour α.

Partie 2 : le bilan d'énergie du capteur

Questions 2.1 à 2.3 : premier principe

La puissance thermique P_th est négative : le capteur, plus chaud que le milieu extérieur, lui cède de l'énergie. La variation d'énergie interne vaut ΔU = C ΔT, et le premier principe donne ΔU = (P_lum + P_th) Δt. Écrire P_lum − P_th serait une erreur : P_th est algébrique et son signe est déjà contenu dans son expression.

Questions 2.4 et 2.5 : équation différentielle et régime permanent

En faisant tendre Δt vers 0, on obtient une équation différentielle du premier ordre en T(t). En régime permanent, la dérivée est nulle et la température vaut T∞, ce qui conduit à P_lum = (T∞ − T₀)/R_th.

Partie 3 : la puissance surfacique

Avec T∞ − T₀ = 4,2 × 10⁻² K et R_th = 3 × 10⁴ K·W⁻¹, la puissance lumineuse captée vaut environ 1,4 × 10⁻⁶ W. La lunette amplifie la puissance reçue d'un facteur 500 : il faut le retirer avant de diviser par la surface du capteur. On trouve environ 6 mW·m⁻², en accord avec la valeur moyenne de 5 mW·m⁻² lors d'une pleine Lune. Oublier ce facteur donnerait un résultat 500 fois trop grand.

Conseils pour réussir

Soignez les tracés sur l'annexe, à la règle, en identifiant les foyers. En thermodynamique, raisonnez avec des grandeurs algébriques et vérifiez les signes. Enfin, confrontez toujours un résultat final à la valeur de référence fournie : un écart d'un facteur 500 doit alerter.