Rafraîchir une boisson : thermodynamique d'une canette

L'exercice 4 du bac 2022 de physique-chimie, Centres étrangers 2, jour 1, compte 5 points et se traite en 53 minutes environ ; c'est le troisième exercice au choix du sujet. Une canette placée dans un congélateur sert de fil conducteur pour appliquer le premier principe de la thermodynamique, calculer un flux thermique, valider la loi de Newton de la thermique et évaluer un temps caractéristique de deux façons.

Questions 1 à 3 : premier principe et énergie interne

Pour le système {canette + boisson}, au repos et sans travail reçu, le premier principe s'écrit ΔU = Q, et pour un système incompressible ΔU = C(θ_f − θ_i). Une variation se calcule toujours état final moins état initial : inverser l'ordre change le signe de toutes les réponses suivantes. Entre 25 °C et 5 °C, avec C = 1,50 × 10³ J·K^-1, on obtient ΔU = −3,0 × 10⁴ J. Un écart de température a la même valeur en degrés Celsius et en kelvins. Le signe négatif signifie que le système cède de l'énergie à l'air du congélateur ; à l'échelle microscopique, l'agitation des entités diminue.

Questions 4 et 5 : lecture graphique et flux thermique

Sur la figure 1, l'horizontale θ = 5 °C coupe la tendance moyenne du nuage de points vers 930 s, soit environ 15 minutes et demie ; les points étant dispersés, une lecture entre 900 et 950 s est recevable. En supposant le flux constant, φ = ΔU/Δt ≈ −32 W. Le signe moins traduit un transfert du système vers l'air, et ΔU doit être exprimé en joules, pas en kilojoules.

Question 6 : la loi de Newton de la thermique

Les points de la figure 2 s'alignent sur une droite dont le prolongement passe par l'origine : le flux est proportionnel à l'écart de température, comme le prévoit la loi φ = hS(θ_th − θ). Le coefficient directeur, calculé avec un point de la droite, vaut 1,05 W·K^-1 et s'identifie à hS. Avec S = 3,1 × 10^-2 m², on trouve h ≈ 34 W·K^-1·m^-2, valeur cohérente avec l'intervalle attendu de 5 à 50 W·K^-1·m^-2 pour une interface solide-air.

Questions 7 et 8 : le temps caractéristique

L'expression de θ(t) montre une décroissance exponentielle de 25 °C vers la température du thermostat, −18 °C. En écrivant l'exponentielle sous la forme exp(−t/τ), on identifie τ = C/(hS) ≈ 1,4 × 10³ s, soit environ 24 minutes. L'analyse dimensionnelle permet de vérifier que ce rapport est bien une durée. La seconde méthode utilise la tangente à l'origine de la figure 1 : l'asymptote étant hors du graphique, on passe par sa pente, environ −2,9 × 10^-2 °C·s^-1, ce qui donne τ ≈ 1,5 × 10³ s. Les deux valeurs sont proches, ce qui conforte le modèle ; l'écart s'explique par l'imprécision du tracé de la tangente.

Conseils

Gardez les signes de ΔU et de φ et interprétez-les par une phrase. Pour valider un modèle de proportionnalité, citez l'alignement des points et le passage par l'origine, puis identifiez le coefficient directeur à la constante du modèle. Retenez enfin que la tangente à l'origine d'une exponentielle atteint l'asymptote à la date τ.