Le diamètre de Jupiter mesuré avec la lunette de Huygens

L'exercice 2 du jour 2 du bac 2022 de physique-chimie Centres étrangers 1, noté sur 5 points, correspond à l'exercice A du sujet officiel, l'un des trois exercices au choix. Comptez environ 53 minutes. Il s'appuie sur un document historique : Huygens observe Jupiter avec une lunette et en déduit son diamètre apparent, d'abord par une comparaison visuelle avec la Lune, puis par la mesure de l'image intermédiaire. Tout l'exercice repose sur la lunette astronomique afocale et sur l'approximation des petits angles.

Grossissement et première estimation

La première question demande la définition du grossissement : le rapport de l'angle sous lequel on voit l'objet à travers la lunette à l'angle sous lequel on le voit à l'œil nu. Inverser ce rapport est l'erreur la plus fréquente ; une lunette agrandit l'angle, donc G est supérieur à 1 et sans unité. Huygens voit Jupiter dans la lunette deux fois plus gros que la Lune à l'œil nu : il s'agit d'une comparaison d'angles, ce qui donne directement l'expression demandée du diamètre apparent de Jupiter. Avec un diamètre apparent de la Lune de 8,7 × 10⁻³ rad et un grossissement estimé à 164, on trouve environ 1,1 × 10⁻⁴ rad, compatible avec l'ordre de grandeur annoncé. Attention à travailler en radians et non en degrés.

Le système afocal et la construction sur l'annexe

L'objet étant à l'infini, son image par l'objectif se forme dans le plan focal image de celui-ci. Comme ce plan coïncide avec le plan focal objet de l'oculaire, l'image finale est rejetée à l'infini : c'est la définition d'un système afocal. Pour la construction, on prolonge le rayon qui passe par le centre optique de l'objectif, non dévié, jusqu'au plan focal image : on obtient le point image, sous l'axe, et l'image intermédiaire est renversée. Faire converger des rayons inclinés au foyer principal est un piège classique. Pour le faisceau émergent, on trace le rayon issu de ce point qui passe par le centre optique de l'oculaire : tous les rayons émergents lui sont parallèles.

Démontrer G = f'1/f'2

La question 7 attend des considérations géométriques : deux triangles rectangles partagent l'image intermédiaire comme côté commun, l'un avec la distance focale de l'objectif, l'autre avec celle de l'oculaire. Avec l'approximation des petits angles, la taille de l'image disparaît du rapport. Donner la formule sans démonstration ne rapporte pas les points.

La seconde méthode de Huygens

Huygens mesure une image intermédiaire de 2 mm avec un objectif de 10,35 m de distance focale. Après conversion des millimètres en mètres, on obtient environ 2 × 10⁻⁴ rad. Le grossissement calculé avec un oculaire de 63 mm vaut 164, valeur que Huygens attribuait à sa lunette ; oublier de convertir la focale de l'oculaire donnerait une valeur absurde. La seconde détermination est plus précise, car elle repose sur la mesure d'une longueur et non sur une impression visuelle.

Le diamètre de Jupiter

Avec une distance de 7,80 × 10⁸ km et l'approximation des petits angles, le diamètre vaut l'angle multiplié par la distance : environ 2 × 10⁵ km, avec un seul chiffre significatif. Le diamètre réel, voisin de 1,4 × 10⁵ km, montre que la mesure donne le bon ordre de grandeur.

Conseils

Cet exercice est accessible si l'on maîtrise les deux propriétés des lentilles convergentes et les tracés de rayons particuliers. Travaillez les constructions au crayon fin et à la règle, convertissez toutes les longueurs dans la même unité et justifiez chaque approximation.