Un super condensateur mesuré de trois façons

Cet exercice de 6 points du bac S Polynésie rattrapage 2010 propose de déterminer la capacité d'un super condensateur par trois méthodes indépendantes : une charge à courant constant, une charge sous tension constante à travers une résistance, puis des oscillations dans un circuit RLC. Les trois parties sont indépendantes, ce qui permet de réviser séparément le condensateur, le dipôle RC et les oscillations électriques.

Partie 1 : charge à courant constant

Le système informatique enregistre la tension aux bornes du conducteur ohmique ; la loi d'Ohm, i = u_R/R, permet d'en déduire l'intensité. Le graphe u(t) est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur 0,25 V·s^-1, obtenu avec le point (18 s ; 4,5 V). Comme l'intensité est constante et le condensateur initialement déchargé, la charge vaut q_A = I·t. Le quotient q_A/u est alors constant : c'est la capacité, C = 1,0 F, une valeur énorme par rapport aux condensateurs usuels.

Partie 2 : charge sous tension constante

Une fois le condensateur chargé, u = E = 5,0 V et l'intensité est nulle. La constante de temps τ = RC se lit à l'abscisse où u atteint 63 % de sa valeur finale, soit 3,2 V : on trouve τ = 20 s, d'où C = τ/R = 1,0 F, en accord avec la première méthode. La loi d'additivité des tensions, la loi d'Ohm et la relation i = C du/dt conduisent à l'équation différentielle E = RC du/dt + u. Enfin, u(5τ) = 0,993 E : à 100 s, le condensateur est chargé à plus de 99 %, ce que confirme la courbe.

Partie 3 : oscillations dans un circuit RLC

L'énergie s'échange entre le condensateur, sous forme électrique, et la bobine, sous forme magnétique, d'où les oscillations. La résistance de la bobine dissipe de l'énergie par effet Joule : l'amplitude décroît et le régime est pseudo-périodique. En mesurant quatre pseudo-périodes, on obtient 4T = 25 s, soit T ≈ 6,3 s. En assimilant T à la période propre T₀ = 2π√(LC), on trouve C = 0,99 F : les trois méthodes concordent à environ 1 % près.

L'intérêt pédagogique de l'exercice tient à la comparaison finale : trois mesures obtenues par des chemins très différents donnent toutes une capacité proche de 1,0 F. Savoir commenter un tel accord, en invoquant la précision des lectures graphiques, est une compétence attendue au bac.

Pièges et conseils

Pour un coefficient directeur, choisis deux points éloignés de la droite pour réduire l'erreur de lecture. Ne qualifie pas le régime de périodique : l'amplitude diminue, seul l'intervalle entre deux maximums reste constant. Pour la pseudo-période, mesure plusieurs oscillations entre deux passages par zéro dans le même sens, puis divise. Dans le dernier calcul, pense à élever 2π au carré et garde la valeur non arrondie de T pour obtenir C.