Supercondensateur et pile à combustible : l'énergie de l'automobile de demain

Cet exercice du bac S 2009 Polynésie (session de rattrapage), noté sur 6 points pour une durée conseillée de 1 h 18, s'intéresse à deux technologies pensées pour les véhicules électriques. La première partie étudie un supercondensateur de capacité 2 600 F, de tension nominale 2,7 V et de masse 500 g, chargé à courant constant puis déchargé dans un conducteur ohmique. La seconde porte sur une pile à combustible au méthanol en milieu acide, la DMFC. L'exercice relie donc l'électricité du dipôle RC à l'oxydoréduction.

Charge à courant constant

Il faut d'abord placer la voie 1 et la masse pour visualiser u_C : la voie 1 sur l'armature située à la pointe de la flèche, la masse sur l'autre. Les relations q = Cu_C et q = It donnent t = Cu_C/I, d'où t₁ ≈ 7,0 × 10² s, soit environ 12 minutes, avec I = 10 A. L'énergie stockée sous 2,7 V vaut E = ½Cu_C² ≈ 9,5 kJ. Ramenée à la masse, elle donne 1,9 × 10⁴ J·kg^-1, en accord avec les 19 kJ·kg^-1 annoncés par le fabricant, à condition de convertir les grammes en kilogrammes.

Décharge dans un conducteur ohmique

En convention récepteur, chaque flèche de tension s'oppose au sens du courant dans le dipôle. La loi des mailles u_C + u_R = 0, la loi d'Ohm et i = C du_C/dt conduisent à l'équation différentielle RC du_C/dt + u_C = 0. L'analyse dimensionnelle montre que RC est un temps. Avec la condition initiale et la valeur finale nulle, on obtient A = 0 et B = 2,7 V. La constante de temps se lit sur l'annexe par la méthode des 37 % : τ ≈ 43 min, ce que confirme le calcul RC = 2,6 × 10³ s.

La pile à combustible au méthanol

Le méthanol est oxydé en dioxyde de carbone à l'anode, qui est la borne négative, et le dioxygène est réduit en eau à la cathode, la borne positive. Les électrons circulent dans le circuit extérieur de la borne moins vers la borne plus. Pour un courant de 50 mA pendant 2,0 h, la charge Q = IΔt donne n_e ≈ 3,7 × 10^-3 mol d'électrons. Une mole de méthanol libère 6 moles d'électrons, d'où une masse consommée d'environ 20 mg et un volume d'environ 2,5 × 10^-2 mL.

Les pièges à éviter

Plusieurs erreurs reviennent : oublier le facteur ½ dans l'énergie du condensateur, laisser l'axe des temps en minutes alors que RC est en secondes, garder l'intensité en mA ou la durée en heures dans Q = IΔt, ou encore diviser par 12, le nombre d'électrons de l'équation globale, au lieu de 6 électrons par molécule de méthanol. L'inversion de la voie 1 et de la masse fait enregistrer −u_C.

Conseils de méthode

Tracez soigneusement les flèches de tension avant d'écrire la loi des mailles : le signe de l'équation différentielle en dépend. Pour la constante de temps, citez la méthode utilisée et comparez-la au calcul. En chimie, équilibrez les demi-équations dans l'ordre : élément principal, oxygène, hydrogène, charges. Le corrigé détaille chaque question avec une copie modèle et des encarts de méthode.