Éolienne et houlomotrice : deux énergies renouvelables au programme de mécanique et d'ondes

Cet exercice de 4 points du bac S 2006 de Polynésie (session de rattrapage), placé en troisième position dans le sujet officiel, s'intéresse à deux façons de produire de l'électricité sans combustible : une grande éolienne de 70 m de diamètre et une usine houlomotrice qui récupère l'énergie des vagues. La durée conseillée est d'environ 52 minutes. Les questions sont courtes et s'appuient presque toutes sur des lectures de figures : la précision des mesures à la règle et le respect des échelles font la différence.

Partie I : le mouvement de l'extrémité d'une pale

Les positions successives M₀ à M₇ de l'extrémité d'une pale sont relevées toutes les 0,1 s. Elles sont sur un même cercle et régulièrement espacées : le mouvement est circulaire uniforme, et il faut citer les deux arguments, la trajectoire et la vitesse constante. Pour la vitesse instantanée en M₂, on l'assimile à la vitesse moyenne entre M₁ et M₃. La corde mesure 2,8 cm sur l'annexe, soit 14 m avec l'échelle, parcourus en 2Δt : on trouve v₂ = 70 m·s^-1. Le piège classique consiste à diviser par Δt au lieu de 2Δt, ou à oublier de convertir la longueur mesurée en distance réelle.

Le vecteur vitesse se trace ensuite en quatre étapes : origine au point M₂, direction tangente au cercle (parallèle à la corde M₁M₃), sens du mouvement, longueur de 7,0 cm à l'échelle de 1 cm pour 10 m·s^-1. La durée d'un tour s'obtient avec le périmètre πD : T = 3,1 s. Attention à ne pas confondre diamètre et rayon. On en déduit environ 19 tours par minute, valeur qui permet de lire sur la courbe du constructeur une puissance d'environ 1,2 MW.

Partie II : la houle et l'usine houlomotrice

La houle est modélisée par une onde transversale. Le bout de bois qui flotte ne part pas avec la vague : il monte et descend sur place, car une onde transporte de l'énergie sans transport de matière. La comparaison des courbes à t = 0 s et t = 1,0 s permet de placer le bout de bois à la même abscisse, sur la courbe en tirets, juste au-dessus de sa position initiale. La question sur le principe de l'usine attend une chaîne énergétique : énergie de la houle, énergie potentielle de pesanteur de l'eau stockée dans le réservoir, énergie cinétique dans la conduite, énergie mécanique de la turbine puis énergie électrique.

Les courbes de la figure 2 donnent ensuite la célérité : une crête avance de 12,5 m en 1,0 s, donc v = 12,5 m·s^-1. Deux crêtes consécutives sont séparées de λ = 100 m, et la période vaut T = λ/v = 8,0 s. Il faut bien mesurer entre deux points homologues, et non entre une crête et un creux, ce qui donnerait une demi-longueur d'onde.

Analyse dimensionnelle et choix d'une relation

La dernière partie montre que la constante a de la relation v² = a × λ a la dimension d'une accélération. Les deux relations proposées sont donc homogènes, et seul le calcul permet de trancher : v² = 156 m²·s^-2 environ, en accord avec la relation g λ / 2π, alors que g λ donne 980 m²·s^-2. La calculatrice doit être utilisée avec des parenthèses autour de 2π.

Conseils pour réussir cet exercice

Gardez les valeurs non arrondies pour les calculs intermédiaires, écrivez toujours la relation littérale avant l'application numérique et vérifiez l'échelle de chaque figure. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la rédaction attendue, les tracés complétés sur les annexes et les pièges à éviter.