Suivez la flèche : la chute libre appliquée au tir à l'arc

Le quatrième exercice du bac S 2011 en Polynésie vaut 4 points, soit environ 52 minutes. Il s'appuie sur un texte de vulgarisation consacré au tir à l'arc : à 70 m, l'archer voit le centre de la cible sous un angle très faible et doit viser plus haut pour compenser la chute de la flèche. L'exercice traite cette situation comme un mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, frottements négligés.

Établir l'équation de la trajectoire

D'après le texte, la résistance de l'air a peu d'effet : c'est la force que l'on néglige en 1.1. La poussée d'Archimède étant elle aussi négligeable, la flèche n'est soumise qu'à son poids. La deuxième loi de Newton, appliquée dans le référentiel terrestre supposé galiléen, donne une accélération égale à g : la masse se simplifie. La rédaction attendue suit toujours le même ordre : système, référentiel, bilan des forces, loi de Newton.

En 1.3.1, il faut éliminer le temps entre les deux équations horaires. On tire t de l'équation de x, la plus simple, puis on reporte dans celle de z. Le piège est d'oublier d'élever au carré le quotient entier : v0 et cos α sont tous deux au carré. L'équation obtenue est un polynôme du second degré en x, de coefficient dominant négatif : la trajectoire est un arc de parabole tourné vers le bas, ce qui justifie le mot « balistique » du texte.

La distance de chute

La date d'arrivée sur la cible s'exprime à partir de l'équation horaire de x. Avec une distance de 70 m, une vitesse de 70 m/s et un angle de 4°, le calcul donne une durée de vol de 1,0 s et une chute de 4,9 m, en accord avec les « environ une seconde » et « environ cinq mètres » du texte. Pensez à régler la calculatrice en degrés.

La partie 2.2 introduit un raisonnement original. Pour que la flèche atteigne le point A, situé dans le prolongement de la vitesse initiale, il faudrait supprimer la pesanteur : la flèche, soumise à aucune force, aurait alors un mouvement rectiligne uniforme d'après le principe d'inertie. Le triangle OAC, rectangle en C, donne alors h = v0·tC·sin α. En reportant cette expression dans l'équation horaire de z, qui s'annule au centre de la cible, on retrouve h = ½ g tC² : la flèche tombe sous sa ligne de visée comme un objet lâché sans vitesse.

Influence de la vitesse initiale

Si l'archer tire plus vite avec le même angle, la durée du vol diminue, et la distance de chute aussi puisqu'elle ne dépend que de cette durée. Raisonner avec h = v0·tC·sin α ne permet pas de conclure, car v0 augmente pendant que tC diminue. La direction de tir étant inchangée, la flèche frappe la cible au-dessus de son centre.

Conseils pour réussir

Dans ce type d'exercice, choisissez l'expression qui ne fait intervenir qu'une seule grandeur variable avant de conclure sur un sens d'évolution. Justifiez chaque hypothèse par une loi nommée, principe d'inertie ou deuxième loi de Newton, et vérifiez vos résultats numériques en les comparant aux ordres de grandeur annoncés par le texte.