L'atome d'hydrogène : du modèle planétaire à la quantification

Cet exercice de 4 points du bac S Antilles-Guyane rattrapage 2010 étudie le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène. Il relie deux parties du programme qui semblent éloignées : la mécanique de Newton, appliquée à un électron en mouvement circulaire autour du proton, et la quantification des niveaux d'énergie, qui explique l'émission de photons. Il demande à la fois des démonstrations littérales et des calculs numériques.

Partie 1 : le mouvement de l'électron

La force électrostatique exercée par le proton sur l'électron est centripète : elle se trace à partir de l'électron, le long du rayon, vers le proton. Le piège classique consiste à faire partir la flèche du proton. L'analyse de l'expression F = k e²/R² montre que k s'exprime en N·m²·C^-2. Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération dans la base mobile se réduit à a = V²/R, dirigée vers le centre, car la dérivée de la vitesse est nulle.

La deuxième loi de Newton, appliquée à l'électron dans un référentiel lié au proton, supposé galiléen, donne alors V = e√(k/(mR)). Le corrigé précise pourquoi le poids est négligé : il est de l'ordre de 9 × 10^-30 N, bien plus faible que la force électrique. L'application numérique conduit à V = 2,2 × 10⁶ m·s^-1. L'énergie cinétique s'écrit Ec = k e²/(2R), où la masse se simplifie, puis vaut 2,2 × 10^-18 J, soit environ 14 eV.

Partie 2 : la quantification de Bohr

Dire que l'énergie de l'atome est quantifiée signifie qu'elle ne peut prendre que des valeurs discrètes, alors qu'en mécanique de Newton l'énergie d'un satellite peut varier de façon continue. Avec En = -13,6/n² eV et rn = a0 n², on complète le tableau : E4 = -0,850 eV et r4 = 16 a0, E5 = -0,544 eV et r5 = 25 a0. Quand n devient très grand, l'énergie tend vers 0 et le rayon vers l'infini.

Le diagramme en forme de puits donne une lecture visuelle : pour libérer l'électron depuis le niveau fondamental, il faut fournir au minimum 13,6 eV, et l'atome devient alors l'ion H⁺. Si l'atome reçoit 10,2 eV, son énergie passe de -13,6 eV à -3,40 eV : il se trouve dans le premier état excité, n = 2. En revenant au fondamental, il émet un photon de fréquence ν = 2,47 × 10¹⁵ Hz et de longueur d'onde λ = 122 nm, dans le domaine ultraviolet.

Pièges et conseils

Les erreurs les plus fréquentes portent sur les unités : il faut convertir l'énergie de l'électron-volt en joule avant d'utiliser ΔE = hν, et garder les valeurs non arrondies pour enchaîner les calculs. Attention aussi au signe : l'énergie à fournir pour ioniser l'atome est positive, même si le niveau fondamental vaut -13,6 eV. Enfin, retenez les limites du visible, environ 400 à 800 nm, pour situer une radiation. Comptez environ 52 minutes pour traiter l'exercice dans les conditions de l'épreuve.