Une lunette astronomique fabriquée avec deux lentilles

Cet exercice de spécialité de 4 points, prévu pour environ 52 minutes, remplace l'exercice III de l'épreuve du bac S 2008 de Polynésie pour les élèves de spécialité. Le contexte est simple : un amateur assemble une lunette avec un objectif de distance focale 1,15 m et un oculaire annoncé à 25 mm. L'exercice fait vérifier ces valeurs, puis étudie le grossissement et le cercle oculaire. Il repose beaucoup sur des constructions graphiques à faire sur l'annexe : la précision du tracé compte autant que les calculs.

Partie 1 : vérifier les distances focales

Le Soleil est un objet à l'infini : dans la relation de conjugaison, le terme 1/OA tend vers zéro, et l'image se forme dans le plan focal image de l'objectif. La distance objectif-écran vaut donc f'₁ = 1,15 m. Pour l'oculaire, trop court pour cette méthode, on utilise la méthode de Silbermann : l'image A'B' est renversée et de même taille que l'objet. Le rayon BB' passe par le centre optique, situé au milieu de [AA'] ; le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par le foyer image. On lit sur la construction que AA' = 4 f'₂, d'où f'₂ = 10,0 / 4 = 2,50 cm, soit 25,0 mm : la valeur du constructeur est confirmée.

Partie 2 : le grossissement de la lunette

L'image intermédiaire A₁B₁ d'un objet à l'infini se forme dans le plan focal image de l'objectif ; elle est renversée. La lunette étant afocale, ce plan est aussi le plan focal objet de l'oculaire : l'image définitive A'B' est rejetée à l'infini, ce qui permet d'observer sans accommoder. Pour tracer le rayon émergent, on utilise un rayon fictif passant par B₁ et le centre optique O₂ : tous les rayons issus de B₁ ressortent parallèles à lui. Les triangles rectangles O₁A₁B₁ et O₂A₁B₁ donnent alors G = f'₁/f'₂ = 1,15 / (25 × 10^-3) = 46. Comme G est inversement proportionnel à f'₂, un grossissement plus faible demande un oculaire de distance focale supérieure à 25 mm.

Partie 3 : le cercle oculaire

Le cercle oculaire est l'image de la monture de l'objectif donnée par l'oculaire. On le construit en traçant, pour chaque bord de l'objectif, le rayon passant par O₂ et le rayon passant par le foyer objet F₂, qui ressort parallèle à l'axe. Par des considérations de triangles, on obtient d = D₁ × f'₂/f'₁ = 40 × 25 / 1150, soit environ 0,87 mm. Toute la lumière qui traverse la lunette passe par ce petit disque : l'œil doit s'y placer, et la pupille doit avoir un diamètre au moins égal à 0,87 mm pour recevoir le maximum de lumière.

Les pièges à éviter

Le premier piège est de mélanger les unités dans le calcul du grossissement : avec f'₁ en mètres et f'₂ en millimètres, on obtiendrait un résultat absurde. Le deuxième concerne la question 2.3 : le rayon émergent ne passe pas par le foyer image de l'oculaire, puisque le rayon incident n'est pas parallèle à l'axe. Enfin, la construction de Silbermann exige de placer d'abord O₂ au milieu de [AA'], avant les foyers.

Conseils de méthode

Pour chaque construction, utilise au moins deux rayons remarquables et indique-les par des flèches. Rédige les relations géométriques dans des triangles rectangles avant de passer à l'application numérique, en justifiant l'approximation tan α ≈ α pour les petits angles. Vérifie enfin la cohérence des résultats : un cercle oculaire de moins d'un millimètre est bien plus petit que la pupille de l'œil.