Un circuit RC au service du cœur

Cet exercice du bac S Polynésie 2007, noté sur 7 points (environ 1 h 30), part d'un objet concret : le stimulateur cardiaque. Son générateur d'impulsions est modélisé par un condensateur qui se charge à travers une faible résistance, puis se décharge lentement dans une grande résistance R. Quand la tension a suffisamment baissé, une impulsion est envoyée au cœur et le cycle recommence. La seconde partie, indépendante, porte sur la pile au lithium qui alimente le boîtier. L'exercice mêle donc électricité et chimie, ce qui en fait une très bonne révision transversale.

Partie I : exploiter la courbe de décharge

Les premières questions sont des lectures graphiques. La tension initiale se lit à l'origine : E = 5,6 V. Pour la constante de temps, on utilise la propriété de la décharge : à t = τ, la tension ne vaut plus que 37 % de sa valeur initiale, soit environ 2,1 V. L'horizontale correspondante coupe la courbe à τ = 0,8 s. La méthode de la tangente à l'origine est possible, mais moins précise quand on la trace à la main.

Vient ensuite l'établissement de l'équation différentielle. Il faut écrire la relation entre l'intensité et la charge, la loi d'Ohm et la loi des mailles, en respectant les flèches du schéma. On vérifie ensuite que u_C(t) = A·e^–t/τ est solution, ce qui impose τ = RC, puis la condition initiale donne A = E. Avec C = 0,40 µF, on obtient R = τ/C = 2 × 10⁶ Ω.

Partie I : les impulsions et la fréquence cardiaque

Le sujet donne l'expression de u_R(t). L'impulsion part quand u_R atteint e^–1 fois sa valeur initiale, soit 2,1 V, à la date t = 0,80 s. Le condensateur se recharge alors presque instantanément : la tension prend l'allure de « dents de scie » de période 0,80 s. On en déduit une fréquence de 1,25 Hz, soit 75 impulsions par minute, valeur compatible avec un rythme cardiaque normal au repos.

Partie II : la pile au lithium

Quatre affirmations sont à classer en vrai ou faux en justifiant. L'électrode de lithium, siège d'une oxydation, est bien le pôle négatif. En revanche, une pile qui débite n'est pas à l'équilibre : son quotient de réaction est inférieur à la constante d'équilibre et s'en rapproche. La pile est usée quand le lithium métallique est épuisé, et non quand les ions lithium sont consommés, puisqu'ils sont produits.

La suite est quantitative : une analyse dimensionnelle montre que 1 A·h = 3 600 C, puis 1,0 g de lithium fournit Q = (m/M)·F ≈ 1,4 × 10⁴ C, soit 3,9 A·h. Le corrigé signale au passage que le faraday s'exprime en C·mol⁻¹. Enfin, le tableau des capacités massiques explique pourquoi le lithium s'impose pour un appareil implanté : il fournit beaucoup d'électricité pour une très faible masse.

Pièges et conseils

Les erreurs les plus fréquentes concernent les unités : oublier de convertir la capacité de microfarads en farads, ou confondre ampère-heure et « ampère par heure ». Il faut aussi soigner les chiffres significatifs, puisque τ n'est lue qu'avec une précision limitée. Pour la partie chimie, chaque vrai ou faux doit être justifié par un argument précis : le sens d'évolution spontanée, ou le rôle de réactif du lithium. Enfin, pour la courbe en dents de scie, on représente des décharges exponentielles et non des segments de droite.