Oscillateur solide-ressort : analyse du corrigé

Cet exercice de mécanique, noté sur 5,5 points, étudie un solide se déplaçant sans frottement sur un banc à coussin d'air, rappelé par deux ressorts. Il enchaîne la deuxième loi de Newton, la résolution d'une équation différentielle, l'analyse dimensionnelle, l'exploitation d'une modélisation expérimentale et l'énergie mécanique, avant une ouverture sur les frottements. L'oscillateur masse-ressort ne figure plus au programme actuel, mais l'exercice reste un excellent entraînement aux méthodes de la mécanique.

Forces et équation différentielle

Le solide est soumis à son poids, à la réaction du banc, verticale en l'absence de frottement, et à la force de rappel du ressort, horizontale. Lorsque G est à droite de la position d'équilibre, le ressort est étiré et la force est dirigée vers la gauche, ce que traduit l'expression F = −k·x·i avec x positif. En appliquant la deuxième loi de Newton puis en projetant sur l'axe horizontal, le poids et la réaction disparaissent : on obtient d²x/dt² + (k/m)·x = 0.

Pour établir la période propre, on dérive deux fois la solution proposée et on la reporte dans l'équation. L'égalité devant être vraie à chaque instant, on en déduit (2π/T₀)² = k/m, soit T₀ = 2π√(m/k). L'analyse dimensionnelle confirme le résultat : k a la dimension d'une masse divisée par un temps au carré, donc m/k est homogène à un temps au carré et T₀ à une durée.

Exploitation expérimentale

Sur le graphe, la période se lit entre deux passages par zéro dans le même sens, et l'amplitude de zéro jusqu'au maximum. La modélisation x = a·cos(b·t + c) donne directement Xm,exp = 4,25 × 10⁻² m et T0exp = 2π/b = 0,2967 s. La période théorique, calculée avec k = 2k₁ et une masse convertie en kilogrammes, vaut 0,298 s. L'écart relatif, calculé avec les valeurs non arrondies, est d'environ −0,46 % : l'accord entre théorie et expérience est très bon. Oublier de convertir 54,0 g en kilogrammes conduit à une période absurde.

Énergie mécanique

Le mouvement étant horizontal, l'énergie mécanique se réduit à Em = ½·m·v² + ½·k·x². Sans frottement, elle se conserve : en écrivant son expression aux extrémités, où la vitesse est nulle, et au passage en O, où l'allongement est nul, on obtient Vm = 2π·Xm/T₀. Avec 4,3 cm et 0,30 s, la vitesse maximale vaut 0,90 m/s, à condition d'exprimer l'amplitude en mètres. Sur le graphe des énergies, la droite horizontale est Em, la courbe partant près de son maximum est l'énergie cinétique, et la double flèche représente T₀/2, période des énergies.

Avec des frottements

Lorsque des oscillations persistent malgré les frottements, le régime est pseudo-périodique et la durée caractéristique est la pseudo-période. Au lâcher, l'énergie est entièrement élastique : Em0 = ½·k·Xm0². Si l'amplitude est divisée par r après une oscillation, l'énergie est divisée par r², car elle dépend du carré de l'amplitude.

Pièges et conseils

Suivez toujours la même trame : système, référentiel, bilan des forces, loi vectorielle, projection. Ne confondez pas une demi-période avec une période sur un graphe, et gardez les valeurs non arrondies lorsqu'on compare deux résultats très proches. Enfin, vérifiez chaque unité avant de conclure.