Un feu d'artifice : mécanique, lumière et dosage du cuivre

Cet exercice de 6,5 points, prévu pour environ 1 h 18, est le plus long de l'épreuve du bac S 2009 de Nouvelle-Calédonie. Ses trois parties indépendantes suivent un fil conducteur original : la montée d'une fusée pyrotechnique, la couleur bleue des étoiles qui contiennent du chlorure de cuivre, puis le dosage spectrophotométrique du cuivre contenu dans une pièce de monnaie.

Partie 1 : la mécanique du feu d'artifice

En 1.1.1, il faut identifier les trois courbes de la figure 2. Les frottements étant négligés, l'énergie mécanique se conserve : la courbe 1, horizontale, est celle de E_m ; l'énergie potentielle de pesanteur augmente avec l'altitude, c'est la courbe 2 ; l'énergie cinétique diminue, c'est la courbe 3. À l'apogée, la vitesse s'annule, ce qui donne t_A = 5,0 s ; le piège est de lire la date où les courbes 2 et 3 se croisent. Les questions 1.1.3 et 1.1.4 écrivent l'énergie mécanique en t₀ et en t_A pour établir y_A = v₀²/(2g), soit environ 1,3 × 10² m. L'apogée réel, 122 m, est plus bas : les frottements de l'air dissipent une partie de l'énergie mécanique.

La suite étudie une étoile projetée depuis le point A. En appliquant la deuxième loi de Newton, avec le poids comme seule force, on obtient a_x = 0 et a_y = -g, puis v_x = v_A cos α et v_y = -g t + v_A sin α. La composante horizontale est constante, c'est la courbe 5 ; la composante verticale est une fonction affine décroissante, c'est la courbe 4. En éliminant le temps entre les équations horaires, on retrouve l'équation de la trajectoire donnée par l'énoncé : une parabole tournée vers le bas. Il ne faut pas oublier la constante y_A, puisque l'étoile part de A et non de l'origine.

Partie 2 : l'émission lumineuse

Les bandes du spectre de CuCl, de 395 nm à 525 nm, appartiennent au domaine visible, du violet au vert. Pour la longueur d'onde 435 nm, la fréquence vaut ν = c/λ ≈ 6,9 × 10¹⁴ Hz et l'énergie du photon E = hν ≈ 4,6 × 10^-19 J, soit 2,8 eV. Le piège est de laisser λ en nanomètres, ce qui fausse le résultat d'un facteur 10⁹.

Partie 3 : le cuivre dans une pièce de 10 centimes

On écrit d'abord les demi-équations : le cuivre est oxydé en ions Cu²⁺, les ions nitrate sont réduits en monoxyde d'azote en milieu acide. La préparation de la solution mère demande une masse de sulfate de cuivre pentahydraté de 2,5 g, puis la dilution de la solution S₃ un volume prélevé de 10 mL. Le choix de λ = 810 nm se justifie par le maximum d'absorption de la figure 5, qui rend les mesures plus précises. Sur la figure 6, les points sont alignés avec l'origine, conformément à la loi de Beer-Lambert : pour A_S = 0,70, on lit c_S ≈ 5,5 × 10^-2 mol·L^-1. On en déduit m(Cu) ≈ 3,5 g dans la fiole de 1,0 L, soit un pourcentage massique d'environ 85 % pour une pièce de 4,1 g, à comparer aux 89 % annoncés : l'écart relatif est d'environ 4 %.

Conseils pour réussir cet exercice

Justifiez chaque identification de courbe par un argument physique. Présentez la deuxième loi de Newton dans l'ordre habituel : système, référentiel, bilan des forces, projection, primitives et conditions initiales. Convertissez systématiquement les unités avant de calculer, et tracez une droite moyenne unique pour exploiter une courbe d'étalonnage.