Un séisme réel pour étudier les ondes et les oscillateurs

L'exercice 1 du bac S Nouvelle-Calédonie 2006, noté sur 5,5 points (environ 1 h 05 conseillée), s'appuie sur le séisme de magnitude 5,1 survenu près de Roulans, dans le Doubs, le 23 février 2004. Il relie deux chapitres : les ondes mécaniques progressives, avec la lecture d'un sismogramme, et l'oscillateur solide-ressort, qui sert de modèle au sismomètre. La calculatrice est interdite : tous les calculs sont conçus pour se faire à la main.

Partie 1 : exploiter le sismogramme

Identifier les ondes P et S

Les ondes P et S partent du même foyer au même instant et parcourent la même distance. Comme les ondes P sont plus rapides (6,0 km/s contre 3,5 km/s), elles arrivent les premières : le premier train d'ondes est celui des ondes P, le second celui des ondes S. Le nom des ondes aide à s'en souvenir : P pour « primaires », S pour « secondaires ».

Relever les dates et établir la relation

Le piège de la question 1.2 est la graduation : une graduation sur deux seulement est chiffrée, l'intervalle entre deux traits vaut donc 5 s et non 10 s. On lit t_P = 18 h 31 min 15 s et t_S = 18 h 31 min 20 s. Chaque onde parcourt la distance d entre la date d'émission t₀ et sa date d'arrivée, d'où v_S = d/(t_S − t₀) et v_P = d/(t_P − t₀). La date t₀ est inconnue : en soustrayant les deux durées de parcours, elle disparaît et l'on retrouve l'expression de d donnée par le sujet.

Calculer la distance

Avec un écart de 5 s, d = (3,5 × 6,0)/(6,0 − 3,5) × 5 = 42 km, soit 4,2 × 10⁴ m. Pour calculer sans machine, il suffit de simplifier : 21/2,5 × 5 revient à 21 × 2.

Partie 2 : le sismomètre, un oscillateur solide-ressort

Bilan des forces et équation différentielle

Le solide est soumis à trois forces : son poids, la réaction du support et la force de rappel du ressort F = −k x. Poids et réaction se compensent, car ils sont perpendiculaires à l'axe du mouvement. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe Ox donne d²x/dt² + (k/m) x = 0. L'oubli du signe moins dans la force de rappel est l'erreur classique : sans lui, l'équation n'a plus de solutions oscillantes.

Analyse dimensionnelle et résonance

En écrivant k en M·T⁻² (à partir de F = k x et F = m a), on montre que 2π√(m/k) est bien une durée. Le sol et le bâti jouent le rôle d'excitateur, le système solide-ressort celui de résonateur ; avec un faible amortissement, la résonance se produit quand la période de l'excitateur est égale à la période propre T₀.

Choisir la masse

Sur le sismogramme, une durée de 1 s contient déjà plusieurs oscillations : la période des ondes est de l'ordre de 0,1 s. En élevant T₀ au carré, on obtient m = k T₀²/(4π²) = 2,5 × 10⁻² kg, soit environ 25 g. Pour enregistrer des ondes de période plus grande, il faut augmenter la masse, puisque T₀ croît avec √m.

Partie 3 : questionnaire sur les séismes

Les ondes sismiques se propagent dans toutes les directions, sans transport de matière. Une onde longitudinale est une onde dont la perturbation se fait dans la même direction que la propagation. La longueur d'onde vaut λ = v_P T = 1,2 × 10³ m, à condition de convertir la célérité en m/s. Enfin, les célérités sont des moyennes car elles dépendent des milieux traversés.

Conseils

Soignez la lecture des axes, écrivez les relations littérales avant de remplacer, et gardez les unités cohérentes. Ces gestes simples rapportent l'essentiel des points de cet exercice.