Le grand saut : la chute d'un parachutiste est-elle libre ?

Cet exercice de 5,5 points du Bac S Amérique du Sud 2003 étudie un saut en parachute depuis un avion volant à 3 000 m d'altitude. Il confronte le modèle de la chute libre à la réalité, puis étudie la phase avec parachute ouvert. On y travaille la deuxième loi de Newton, les équations horaires, la trajectoire parabolique, la conservation de l'énergie mécanique, le frottement fluide et l'analyse dimensionnelle.

Partie 1 : trajectoire d'une chute libre avec vitesse initiale

Une chute est libre lorsque le système n'est soumis qu'à son poids. La deuxième loi de Newton donne alors un vecteur accélération égal à g, soit a_x = 0 et a_z = −g, l'axe Oz étant orienté vers le haut : oublier ce signe est l'erreur la plus fréquente. La vitesse initiale est celle de l'avion, horizontale. Deux primitives successives donnent x(t) = v₀t et z(t) = −gt²/2 + h₀, sans oublier la constante h₀ puisque l'origine est au sol. En éliminant le temps, on obtient une trajectoire en arc de parabole. Le sauteur atteint 1 000 m au bout de 20 s, une durée indépendante de la vitesse horizontale.

Partie 2 : la chute est-elle réellement libre ?

En chute libre, seul le poids, force conservative, travaille : l'énergie mécanique se conserve. Le piège est de négliger l'énergie cinétique initiale ou de laisser v₀ en km/h : après conversion, v₀ = 36,1 m/s, et la conservation de l'énergie donne v₁ = 2,0 × 10² m/s. Or la vitesse réelle se stabilise à 55 m/s, près de quatre fois moins. Le modèle a négligé les frottements de l'air, qui augmentent avec la vitesse jusqu'à compenser le poids : la chute n'est pas libre au sens des physiciens. Une vitesse constante en ligne droite signifie des forces qui se compensent, pas une absence de forces.

Partie 3 : ouverture du parachute

L'analyse dimensionnelle montre que le coefficient K s'exprime en m², ce qui est cohérent avec sa dépendance à la surface du parachute. La deuxième loi de Newton, projetée sur un axe vertical orienté vers le bas, conduit à l'équation différentielle dv/dt + Kρv²/(2m) = g. Si l'on projette sur l'axe orienté vers le haut, il faut gérer le changement de signe de la coordonnée de la vitesse. Quand la vitesse est stabilisée, sa dérivée est nulle : v₂ = √(2mg/(Kρ)) = 6,0 m/s, soit environ 22 km/h, ce qui permet un atterrissage sans danger.

La dernière question vérifie cette valeur sur la courbe de l'altitude en fonction du temps : la portion rectiligne traduit une vitesse constante, et le coefficient directeur calculé entre les points (100 s ; 600 m) et (150 s ; 300 m) vaut −6,0 m/s. La valeur de la vitesse est positive : seule sa coordonnée sur Oz est négative.

Conseils

Précisez toujours système, référentiel et bilan des forces avant d'appliquer la deuxième loi de Newton, et choisissez l'orientation de l'axe avec soin. Le corrigé détaillé reprend chaque question, avec les calculs à la calculatrice et le graphique annoté.