Le marquage isotopique : du fluor 18 à la synthèse du salicylate de méthyle

Cet exercice de 6,5 points du bac S 2005 Métropole (rattrapage) illustre une même idée dans deux domaines : un atome marqué sert de traceur. En physique, le fluor 18 permet l'imagerie médicale ; en chimie, l'oxygène 18 révèle quelles liaisons sont rompues lors d'une estérification. Les deux parties sont indépendantes et se traitent sans calculatrice, en un peu plus d'une heure.

Désintégration et constante radioactive

Le noyau de fluor 18 contient 9 protons et 9 neutrons. Les lois de conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge donnent A = 0 et Z = 1 pour la particule émise : c'est un positon, la désintégration est de type β⁺. Le temps de demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée. La relation t_1/2 = ln2/λ montre que λ s'exprime en s⁻¹ ; avec t_1/2 = 110 min = 6,6 × 10³ s, on trouve λ ≈ 1 × 10⁻⁴ s⁻¹. Le piège est de laisser la demi-vie en minutes, ce qui conduit à choisir le mauvais ordre de grandeur.

Activité des doses et lecture graphique

En dérivant N = N₀e^−λt, on obtient A = λN₀e^−λt, donc A₀ = λN₀. Une activité de 260 MBq correspond à N = A/λ = 2,6 × 10¹² noyaux : penser à convertir les mégabecquerels en becquerels. Sur la figure 2, on trace l'horizontale A = 260 MBq : la courbe D1 est coupée à t = 60 min, ce qui place la fabrication à 8 h 00, et la courbe D2 à t = 180 min, ce qui place le deuxième examen à 11 h 00. Pour que l'activité soit divisée par 100, il faut une durée égale à ln(100)/λ = 4,6 × 10⁴ s, soit environ 13 h : l'ordre de grandeur est de 10 h.

Méthode d'Euler

L'équation différentielle dA/dt = −λA, approchée par ΔA/Δt, donne la relation de récurrence A(t_n+1) = (1 − λΔt)A(t_n). Avec A₀ = 800 MBq et Δt = 100 s, le facteur vaut 0,99 : on obtient A(t₁) = 792 MBq puis A(t₂) ≈ 784 MBq, valeurs en accord avec la figure 3. Un pas de 1 s rend l'approximation plus précise mais multiplie le nombre de calculs par 100.

Estérification et marquage à l'oxygène 18

L'acide salicylique réagit par son groupe carboxyle avec le méthanol pour donner le salicylate de méthyle et de l'eau : c'est une estérification, réaction lente et limitée. L'acide sulfurique est un catalyseur. Dans le montage à reflux, l'eau entre par le bas du réfrigérant (tube 2) et sort par le haut (tube 1) ; le chauffage accélère la réaction sans perte de matière. Avec 0,50 mol d'acide et 1,0 mol de méthanol, l'acide salicylique est le réactif limitant ; l'excès d'alcool déplace l'équilibre et améliore le rendement. Enfin, l'oxygène marqué de l'alcool se retrouve dans l'ester et non dans l'eau : c'est l'hypothèse 2, où l'acide perd son groupe OH et l'alcool son atome d'hydrogène.

Conseils

Soignez les conversions d'unités, lisez les graphiques en traçant les droites utiles, et pour le marquage isotopique, suivez l'atome marqué fragment par fragment.