Un exercice construit sur trois textes historiques

L'exercice 1 du bac S Métropole 2010, noté sur 6,5 points, est le plus long de l'épreuve : il faut compter environ 1 h 18. Il se compose de trois parties indépendantes, chacune bâtie autour d'un extrait : le mémoire de Berthelot et Péan de Saint-Gilles sur les esters (1862), les Principia de Newton et le Messager des étoiles de Galilée. On passe donc de la chimie des équilibres à la mécanique céleste, puis à l'exploitation de données d'observation.

Partie 1 : l'estérification selon Berthelot

Quantités de matière initiales

On mélange 57 mL d'acide éthanoïque et 58 mL d'éthanol. Avec la masse volumique et la masse molaire, on obtient environ 1,0 mol de chaque réactif (0,9975 mol et 0,996 mol) : le mélange est équimolaire. Le piège consiste à diviser un volume par une masse molaire en oubliant de passer d'abord par la masse.

Titrage et tableau d'avancement

Après six mois, un prélèvement de 2,0 mL est titré par la soude à 1,00 mol/L, avec un volume équivalent de 12,0 mL. L'équivalence donne n_R = 1,20 × 10^-2 mol dans le prélèvement. En multipliant par le rapport des volumes (115 mL sur 2,0 mL), on obtient 0,69 mol d'acide restant dans le flacon. Le tableau d'avancement fournit alors la composition finale : 0,69 mol d'acide et d'alcool, 0,31 mol d'ester et d'eau. Cette démarche justifie la phrase de Berthelot : une seule quantité mesurée suffit à connaître tout le système, puisque toutes les espèces s'expriment en fonction de l'avancement.

Partie 2 : la gravitation de Newton appliquée à Callisto

Il faut d'abord représenter la force exercée par Jupiter sur Callisto : appliquée au centre C du satellite et dirigée vers J. Le vecteur unitaire de l'énoncé va de J vers C, d'où le signe moins dans l'expression vectorielle de la force, piège fréquent. La deuxième loi de Newton, dans le référentiel jovicentrique, montre que l'accélération ne dépend pas de la masse du satellite. Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et vaut v²/r, ce qui conduit à l'expression de la vitesse puis à celle de la période. Le calcul, avec le rayon converti en mètres, donne T_C = 1,44 × 10⁶ s, soit environ 16,7 jours.

Partie 3 : les croquis de Galilée

La figure du plan de l'orbite permet d'associer la configuration observée au croquis (a) : deux astres à l'est de Jupiter, un seul à l'ouest, Io étant aligné avec la planète. Galilée voit les orbites par la tranche, d'où des satellites qui semblent osciller sur un segment centré sur Jupiter et qui disparaissent parfois derrière ou devant la planète. Le tableau des croquis montre Callisto au plus loin à l'est le 11 février puis le 27 février 1610, ce qui donne une période d'environ 16 jours, compatible à 4 % près avec le calcul newtonien.

Conseils pour réussir

Lisez attentivement les textes : les phrases en gras indiquent exactement ce qu'il faut justifier. Gardez les unités du système international dans les calculs de gravitation, et en partie 3 comptez une période complète entre deux écarts maximaux du même côté, et non une demi-période.