Un condensateur au cœur de l'airbag

Cet exercice du bac S 2009 Métropole, noté sur 4 points pour une durée conseillée de 52 minutes, explique le fonctionnement de l'accéléromètre qui déclenche un airbag. Deux peignes complémentaires, l'un fixe et l'autre mobile, forment un condensateur de capacité C = 100 pF. Lors d'un choc, la partie mobile se rapproche de la partie fixe et la capacité change : le circuit détecte ce changement. La première partie étudie la charge du condensateur dans un circuit RC alimenté par une pile de force électromotrice E = 5,0 V ; la seconde analyse ce qui se passe pendant le choc.

Partie 1 : l'accéléromètre en dehors des chocs

Identifier les courbes et les régimes

Le condensateur est déchargé à t = 0, donc la tension u_C part de zéro et augmente : c'est la courbe (a). L'intensité est maximale à la fermeture de l'interrupteur puis s'annule quand le condensateur est chargé : c'est la courbe (b). Le régime transitoire dure jusqu'à environ 5 ns (5τ), puis u_C et i restent constants : c'est le régime permanent. Le piège est de lire chaque courbe sur le mauvais axe : la tension à gauche, l'intensité à droite.

Constante de temps et résistance

À t = τ, le condensateur est chargé à 63 % : u_C = 0,63 × 5,0 = 3,2 V, atteint à 1,0 ns. Comparée à la durée d'un choc, de l'ordre de 200 ms, la constante de temps est environ 2 × 10⁸ fois plus petite : le condensateur se charge de façon quasi instantanée à l'échelle du choc. Pour un dipôle RC, τ = RC, d'où R = 1,0 × 10^-9 / 100 × 10^-12 = 10 Ω. Il faut convertir les picofarads et les nanosecondes en unités du système international. La courbe (b) confirme le résultat : R = E/i(0) = 5,0/0,50 = 10 Ω.

Régime permanent

En régime permanent, u_C = E = 5,0 V et i = 0. La charge vaut alors q = C × E = 5,0 × 10^-10 C, soit 0,50 nC.

Partie 2 : le déclenchement de l'airbag

Le peigne mobile constitue l'armature mobile et le cadre l'armature fixe. Lors du choc, la distance d entre les armatures diminue et la capacité augmente : seule l'expression C = k/d est compatible. La résistance étant négligée, la tension aux bornes du condensateur reste égale à E, qui ne dépend pas de la position des armatures ; comme q = C·E et que C augmente, la charge augmente. L'électrode fixe, reliée à la borne positive, perd des électrons qui traversent les fils et la pile pour rejoindre l'électrode mobile. Avec i = dq/dt, une charge qui varie fait apparaître un courant : le déclenchement est commandé par la détection d'une variation d'intensité du courant, proposition b).

Conseils

Raisonnez à tension constante : le condensateur n'est pas isolé, c'est la pile qui impose u_C. Les électrons ne traversent jamais l'isolant entre les armatures. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les lectures sur la figure 5 et le schéma du sens des électrons.