La physique du violoncelle

L'exercice 4 du bac S Métropole 2006 est l'exercice de spécialité, noté sur 4 points (environ 52 minutes conseillées). Il étudie le son produit par la corde de sol d'un violoncelle, de longueur utile 69,0 cm, frottée avec l'archet puis pincée. Aucune connaissance musicale n'est nécessaire : tout repose sur les modes propres d'une corde, la lecture d'oscillogrammes et de spectres, et les caractéristiques physiologiques d'un son, hauteur et timbre.

Partie 1 : le son produit par la corde frottée

Modes propres et fuseau

La corde fixée à ses deux extrémités ne peut vibrer que selon ses modes propres. Dans le mode fondamental, on observe un seul fuseau, avec des nœuds aux extrémités et un ventre au milieu. Comme la longueur de la corde vaut un nombre entier de demi-longueurs d'onde, on obtient λ₁ = 2L = 138 cm. Écrire λ₁ = L est l'erreur la plus fréquente.

Fréquence du fondamental

Sur l'oscillogramme de la figure 7, le motif se répète environ toutes les 4 divisions de 2,5 ms, d'où T₁ = 10 ms et f₁ = 1,0 × 10² Hz. Cette fréquence fixe la hauteur du son. Avec un stroboscope, il faut partir d'une fréquence d'éclairs élevée et la diminuer : la plus grande fréquence donnant une corde unique et immobile est égale à f₁. En partant de fréquences basses, on risque de retenir un sous-multiple.

Célérité et spectre

La célérité de l'onde le long de la corde vaut v = λ₁f₁, soit environ 1,4 × 10² m/s ; ce n'est pas la célérité du son dans l'air. Les harmoniques ont des fréquences multiples du fondamental : f₂ = 2f₁ et f₃ = 3f₁. Sur le spectre de la figure 8, le fondamental est le pic (a), de plus basse fréquence, et non le pic (b), le plus haut. Pour jouer l'octave supérieure, on divise la longueur par deux, ce qui double la fréquence : f' = 2f₁.

Partie 2 : la corde pincée

En pizzicato, la période du signal reste d'environ 10 ms : la hauteur n'est pas modifiée. La forme du motif change, donc la répartition des harmoniques aussi : c'est le timbre qui diffère. Deux sons de même hauteur se distinguent par leur timbre.

Partie 3 : effleurer la corde en son milieu

Sur le spectre de la figure 10, le premier pic est à 200 Hz et les suivants sont ses multiples. Effleurer la corde en son milieu impose un nœud à cet endroit : seuls subsistent les modes de rang pair. Le fondamental double, le son monte d'une octave, et le timbre change aussi.

Conseils pour réussir

Cet exercice est court et rapporte vite si l'on maîtrise trois réflexes : L = nλ/2 pour une corde fixée, le fondamental est le pic de plus basse fréquence, et la hauteur dépend de la fréquence du fondamental tandis que le timbre dépend du spectre. Pensez aux conversions en mètres et en secondes.