L'oscillateur harmonique : du pendule à la molécule

Cet exercice du bac S 2010 au Liban, à traiter en un peu plus d'une heure, part d'une idée unificatrice : de nombreux systèmes obéissent à la même équation différentielle, celle de l'oscillateur harmonique, dont la constante est reliée à la période propre. L'énoncé l'applique successivement au pendule simple, au pendule élastique, puis à la vibration d'une molécule diatomique traitée en mécanique quantique. Il mêle ainsi mécanique de Newton, énergie et quantification.

Partie 1 : le pendule simple

On calcule la période propre d'un pendule de 1,00 m de long : 2,01 s, à condition de convertir la longueur en mètres. Le tableau de mesures montre que la période reste égale à 2,01 s pour des amplitudes de 5° à 15°, avant d'augmenter lentement : c'est l'isochronisme des petites oscillations.

Partie 2 : le pendule élastique

Le solide accroché au ressort glisse sur un rail à coussin d'air. L'enregistrement montre des oscillations périodiques, sinusoïdales et non amorties. Le bilan des forces (poids, réaction du rail, force de rappel) puis la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe conduisent à l'équation différentielle. Par identification, on obtient l'expression de la période propre en fonction de la masse et de la raideur, puis sa valeur : 0,900 s. La lecture de trois périodes sur l'enregistrement donne une valeur expérimentale de 0,90 s, en accord avec le calcul. La partie se termine par l'énergie : on reconnaît l'énergie potentielle élastique et l'énergie cinétique, on démontre que l'énergie mécanique vaut ½ k X_m², puis on la calcule pour une amplitude de 1,00 cm : 5,00 × 10^-4 J. Entre 0 et cette valeur, une infinité d'énergies sont possibles.

Partie 3 : l'oscillateur en mécanique quantique

Pour la molécule, l'énergie de vibration est quantifiée. On vérifie la fréquence propre de 5,13 × 10¹³ Hz, on complète le tableau des niveaux (1,70 et 5,10 × 10^-20 J), on trace le diagramme et l'on montre que les niveaux sont régulièrement espacés de h·ν₀ = 3,40 × 10^-20 J. La transition du niveau 0 au niveau 1 correspond à une radiation de 5,85 µm, dans l'infrarouge.

Les pièges à éviter

Le corrigé insiste sur les conversions d'unités (centimètres, grammes), sur le sens de la force de rappel, qui ramène toujours le solide vers sa position d'équilibre, et sur le facteur 2π/T₀ à ne pas oublier en dérivant le cosinus. Il souligne aussi le contraste entre l'énergie continue du pendule et l'énergie discrète de la molécule.

Conseils pour réussir

Suivez la méthode en cinq étapes pour établir une équation différentielle, mesurez toujours plusieurs périodes sur un enregistrement et contrôlez l'ordre de grandeur de chaque résultat. Le corrigé détaillé rédige chaque question comme sur une copie, avec les calculs à la calculatrice et les explications en marge.