Reconstituer un oscillateur à partir de deux graphes

Cet exercice du bac S 2009 Liban, noté sur 4 points pour une durée conseillée de 52 minutes, met en scène un élève qui doit rendre un devoir sur les oscillations mécaniques sans avoir tous ses documents. Il dispose du schéma d'un oscillateur élastique horizontal sur banc à coussin d'air, des conditions initiales (x₀ = 4,0 cm, v₀ = 0), de l'expression de la période propre et de deux courbes : l'abscisse x(t) et une énergie en fonction du temps. Tout le travail consiste à exploiter ces graphes avec rigueur.

Analyse des graphes

La pseudo-période

Pour gagner en précision, on mesure deux pseudo-périodes plutôt qu'une : la courbe 1 part d'un maximum à t = 0 et atteint son deuxième maximum suivant à 1,62 s, d'où T = 0,81 s. Le terme de pseudo-période vient de la légère diminution de l'amplitude ; l'amortissement étant faible, on peut confondre T et la période propre T₀.

Identifier l'énergie de la courbe 2

Il faut écarter chacune des deux autres énergies. L'énergie cinétique est nulle à t = 0 puisque la vitesse initiale est nulle, alors que la courbe 2 y est maximale. L'énergie mécanique ne s'annule jamais pendant les oscillations, alors que la courbe 2 s'annule périodiquement. Enfin, la courbe 2 est maximale quand |x| est maximal et nulle quand x = 0, comme ½kx². Écarter seulement l'énergie cinétique ne suffit pas.

Raideur du ressort et masse du mobile

À t = 0, E_pe(0) = ½kx₀² = 2,4 mJ, d'où k = 2E_pe(0)/x₀² = 3,0 N·m⁻¹, à condition de travailler en mètres et en joules et de ne pas oublier le carré. En élevant au carré l'expression de T₀, on isole m = kT₀²/(4π²) = 5,0 × 10⁻² kg, soit 50 g. Vérifier l'unité est un bon réflexe : des N·m⁻¹·s² sont bien des kilogrammes.

Évolution des oscillations

Des frottements non négligeables

Sur la courbe 1, l'amplitude passe de 40 mm à environ 37 mm en deux pseudo-périodes, et les maximums de l'énergie potentielle de 2,4 mJ à 2,0 mJ : le système perd de l'énergie mécanique, dissipée par les frottements. Ceux-ci ne sont donc pas négligeables, même si l'amortissement reste faible.

Les énergies sans frottement

Sans frottement, l'énergie mécanique reste constante à 2,4 mJ. L'énergie potentielle part de sa valeur maximale et l'énergie cinétique de zéro ; elles varient en sens contraires, se croisent à 1,2 mJ et ont pour période T₀/2, car le mobile passe deux fois par l'élongation maximale à chaque période. Donner aux énergies la période T₀ est le piège principal de cette question.

Équation différentielle du mouvement

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le mobile est soumis à son poids, à la réaction verticale du coussin d'air et à la force de rappel −kx du ressort. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe horizontal donne d²x/dt² + (k/m)x = 0 ; le signe moins de la force de rappel est essentiel. Pour vérifier la solution x(t) = x₀cos(2πt/T₀), on dérive deux fois : le facteur 2π/T₀ apparaît au carré, et la relation 4π²/T₀² = k/m permet de conclure. Cette solution respecte aussi les conditions initiales.

Conseils

Lisez les graphes sur plusieurs périodes, justifiez chaque élimination et rédigez la démonstration de l'équation différentielle dans l'ordre : système, référentiel, forces, loi, projection.