Un supercondensateur en charge et en décharge
Le deuxième exercice du bac S Inde 2007, noté sur 5 points, part d'un objet technologique : les supercondensateurs, dont la capacité atteint le farad, utilisés pour récupérer l'énergie de freinage des tramways. Derrière ce contexte se cache un exercice classique de circuit RC de l'ancien programme, complété par un bilan d'énergie.
Charge sous tension constante
La loi d'additivité des tensions, la loi d'Ohm et la relation entre l'intensité et la charge mènent à l'équation différentielle RC du/dt + u = E. Le corrigé insiste sur un point souvent négligé : la relation i = dq/dt n'a ce signe que si la flèche de l'intensité pointe vers l'armature qui porte la charge q, ce qu'il faut vérifier sur le schéma.
On vérifie ensuite que la fonction E(1 - e-t/τ) est solution. En remplaçant, on obtient une égalité qui doit être vraie à chaque instant, ce qui impose τ = RC. La condition initiale u(0) = 0 est bien respectée.
Détermination de la capacité
La méthode retenue consiste à lire sur l'enregistrement la date à laquelle la tension atteint 63 % de sa valeur finale, soit 3,2 V. On lit τ ≈ 12 s, d'où C = τ/R ≈ 1,2 F. L'écart de 20 % avec l'indication de 1 F du fabricant est cohérent avec la précision de la lecture et la tolérance des composants. La méthode de la tangente à l'origine est également acceptée, mais elle est moins précise.
Décharge à courant constant
Dans la seconde partie, le condensateur alimente un moteur qui soulève une masse de 100 g de 3,10 m. La tension décroît de façon affine : on calcule a = -0,19 V/s et b = 4,9 V, sans oublier les unités. La charge q = C(at + b) donne une intensité constante, i = -0,19 A. Le signe négatif n'est pas une erreur : il indique que le courant circule dans le sens opposé au sens choisi sur le schéma, le condensateur se déchargeant.
Énergies et rendement
L'énergie stockée passe de 12 J à 1,1 J : le condensateur cède donc 11 J. Le piège classique consiste à calculer le carré de la différence des tensions au lieu de la différence des carrés. L'énergie potentielle gagnée par la masse vaut 3,0 J et le rendement environ 28 %. Le reste est dissipé par effet Joule et par les frottements. Le corrigé recommande de garder les valeurs non arrondies dans la calculatrice pour éviter un rendement faussé par les arrondis successifs.
Conseils
Cet exercice est une excellente révision du dipôle RC : établissement de l'équation différentielle, vérification d'une solution, lecture de la constante de temps et énergie d'un condensateur. Justifiez toujours le signe de l'intensité à partir des conventions du schéma, et donnez chaque résultat avec son unité et un nombre de chiffres significatifs adapté aux données.