Les satellites de Neptune : Kepler et Newton au programme

Cet exercice de physique de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, part d'un texte sur la planète Neptune survolée par la sonde Voyager 2 en 1989. Il étudie deux de ses satellites aux orbites très différentes : Néréide, sur une ellipse très allongée, et Triton, sur une orbite circulaire. C'est un exercice type du chapitre sur les satellites, qui fait travailler à la fois les trois lois de Kepler et la deuxième loi de Newton.

Partie 1 : le mouvement elliptique de Néréide

L'orbite est décrite dans le référentiel neptunocentrique, puisque c'est Neptune qui attire le satellite. Les deux premières lois de Kepler doivent être appliquées au cas étudié : l'orbite est une ellipse dont Neptune occupe un foyer, et le segment Neptune-Néréide balaie des aires égales pendant des durées égales. Une erreur fréquente consiste à les recopier avec « le Soleil » et « la planète ».

Sur l'annexe, le demi-grand axe a se trace du centre C de l'ellipse jusqu'au péricentre ou à l'apocentre, et non depuis Neptune, qui n'est pas au centre. La loi des aires permet ensuite de comparer les vitesses : près du péricentre, le segment est court, donc l'arc parcouru pendant la même durée est plus long, et Néréide va plus vite qu'à l'apocentre.

La troisième loi de Kepler est d'abord exploitée avec Triton : le rapport T²/R³ vaut 5,778 × 10⁻¹⁵ s²·m⁻³, à condition d'avoir converti la période en secondes et le rayon en mètres. Une erreur d'un facteur 1 000 sur le rayon devient une erreur d'un facteur un milliard sur le résultat. Comme ce rapport est le même pour tous les satellites de Neptune, il donne la période de Néréide : environ 3,111 × 10⁷ s, soit 360,1 jours, en accord avec les 360 jours du texte.

Partie 2 : le mouvement circulaire de Triton

L'expression vectorielle de la force gravitationnelle exige un signe moins, car le vecteur unitaire est orienté de Neptune vers Triton alors que la force est attractive. Sa valeur est de 1,17 × 10²¹ N. La deuxième loi de Newton, appliquée au système Triton dans le référentiel neptunocentrique supposé galiléen, donne une accélération centripète de valeur V²/R₁ pour un mouvement circulaire uniforme, d'où V = √(G M_N/R₁). Le calcul donne 4,39 km·s⁻¹, en accord avec la valeur de l'énoncé donnée avec un seul chiffre significatif.

La période s'obtient en divisant le périmètre de l'orbite par la vitesse : T = 2π √(R₁³/(G M_N)). Le calcul donne 5,08 × 10⁵ s, soit 5,88 jours solaires, en accord avec les 5,877 jours annoncés. Pour cette conversion, gardez la valeur complète de la calculatrice plutôt que la valeur arrondie.

Conseils pour réussir

Précisez toujours le système et le référentiel avant d'appliquer la deuxième loi de Newton, et convertissez toutes les grandeurs dans les unités du système international avant de calculer. Quand on vous demande de comparer un résultat à une donnée, tenez compte de la précision de cette donnée. Enfin, retenez que la troisième loi de Kepler se retrouve directement en élevant au carré l'expression de la période : c'est un bon moyen de vérifier vos calculs.