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Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Pluton et Charon - Bac S Centres étrangers 2008 (ancien programme) - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2008
Bac S (ancien programme)
Cet exercice du bac S Centres étrangers 2008 (5 points, environ 1 h 05) détermine la masse de Pluton grâce au mouvement de son satellite Charon. 🪐
- Définir un mouvement circulaire uniforme et écrire la force de gravitation.
- Appliquer la deuxième loi de Newton à Charon et établir sa vitesse et sa période.
- Retrouver la troisième loi de Kepler.
- Calculer la masse de Pluton selon deux hypothèses et les comparer à la valeur admise.
Le corrigé détaille chaque démonstration, les conversions et les calculs à la calculatrice.
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Pluton et Charon : peser une planète naine
Cet exercice du bac S Centres étrangers 2008, noté sur 5 points (environ 1 h 05 conseillée), a pour but de déterminer la masse de Pluton à partir du mouvement de son satellite Charon. Il mobilise la loi de gravitation universelle, la deuxième loi de Newton et la troisième loi de Kepler, avec deux hypothèses successives dont on compare les résultats.
Partie 1 : généralités
Un mouvement circulaire uniforme a une trajectoire circulaire et une vitesse de valeur constante. Les deux conditions sur l'accélération sont qu'elle soit centripète, dirigée vers le centre, et de valeur constante v²/R. La force gravitationnelle exercée par A sur B s'écrit avec le vecteur unitaire orienté de A vers B : elle comporte un signe moins, puisqu'elle est attractive et pointe vers A. Ce signe est le premier piège de l'exercice.
Partie 2 : le système Pluton-Charon
Période de révolution
Le texte donne deux durées : 6,387 jours pour un tour sur elle-même et 248 années sidérales pour un tour autour du Soleil. La période de révolution de Pluton est la seconde. Confondre révolution et rotation propre fait perdre la question.
Mouvement de Charon
Dans le référentiel plutonocentrique, supposé galiléen, Charon n'est soumis qu'à l'attraction de Pluton. La deuxième loi de Newton donne une accélération dirigée de C vers P, de valeur G MP1/R², constante : le mouvement circulaire uniforme est bien une solution. En égalant avec v²/R, on obtient la vitesse, puis la période T = 2πR/v, et enfin la relation T²/R³ = 4π²/(G MP1), qui est la troisième loi de Kepler.
Détermination de la masse de Pluton
La relation de Kepler montre que la masse de Pluton se calcule dès qu'on connaît la période et le rayon de l'orbite d'un satellite : c'est la découverte de Charon en 1978 qui l'a rendu possible. Avec R = 1,94 × 107 m et T = 6,387 jours convertis en secondes, on trouve MP1 = 1,42 × 1022 kg. En tenant compte de la masse de Charon, la même relation donne la somme des deux masses, d'où MP2 = 1,26 × 1022 kg. Comparées à la valeur admise de 1,31 × 1022 kg, les écarts sont de 8,4 % et 3,8 % : la seconde hypothèse est plus pertinente, d'autant que Charon représente environ 12 % de la masse de Pluton.
Les pièges à éviter
Laisser le rayon en kilomètres ou la période en jours fausse le résultat d'un facteur énorme : R est au cube et T au carré. Autre erreur classique, soustraire deux puissances de dix sans les ramener au même exposant. Enfin, les données ne sont connues qu'à trois chiffres significatifs, ce qui limite la précision de la discussion finale.
Conseils
Annoncez toujours le système, le référentiel et le bilan des forces avant d'appliquer la deuxième loi de Newton. Ces trois lignes rapportent des points et évitent les erreurs de signe.