Un exercice de mécanique sur les accélérateurs de particules

L'exercice 2 du bac S 2020 de Polynésie, noté sur 6 points, s'appuie sur le fonctionnement des accélérateurs qui alimentent le LHC. Il demande environ 1 h 05. La première partie étudie un proton accéléré entre deux armatures dans un champ électrique uniforme. La seconde porte sur une collision frontale entre deux protons et sur la conservation de la quantité de mouvement. C'est un exercice très classique, où la rigueur de rédaction compte autant que les calculs.

Partie 1 : l'accélérateur linéaire

Force, accélération et équations horaires

La question 1.1 demande de tracer la force électrique et l'accélération. La justification attendue tient en deux relations : F = eE, avec une charge positive, puis la deuxième loi de Newton F = m_pa dans le référentiel terrestre supposé galiléen, poids négligé. Les deux vecteurs ont donc le sens du champ. En 1.2.1, on projette l'accélération sur les axes : a_x = eE/m_p et a_y = 0. L'intégration donne v_x(t) = (eE/m_p)t + v₀ et v_y(t) = 0. La vitesse reste parallèle à l'axe (Ox) : la trajectoire est rectiligne, ce qui justifie le nom d'accélérateur linéaire. Oublier la constante d'intégration fait disparaître v₀.

Vitesse à la sortie et équation du second degré

Avec les données, la vitesse à l'armature B vaut v₁ = 3,5 × 10⁵ m/s. Le piège principal est de laisser le champ en kV/m : il faut 10,0 × 10³ V/m, sinon le résultat est mille fois trop faible. En 1.2.3, une nouvelle intégration donne x(t), et la condition x(t₁) = ℓ conduit à une équation du second degré. Sa racine positive redonne t₁ = 3,7 × 10^-7 s. Pensez à convertir ℓ = 6,5 cm en mètres et à écarter la racine négative.

Énergie cinétique et comparaison avec le LHC

Le gain d'énergie cinétique vaut environ 1,0 × 10^-16 J, soit 6,5 × 10² eV. La comparaison avec l'énergie du LHC, supérieure à 10¹² eV, montre un écart d'un facteur de l'ordre du milliard. Il faut donc un champ plus intense, une zone plus longue ou de nombreuses zones accélératrices successives. Attention à comparer des énergies exprimées dans la même unité. Les questions 1.3 se traitent en une phrase : un neutron, sans charge, n'est pas accéléré ; pour un électron, de charge négative, il faut inverser le sens du champ en échangeant la polarité des armatures.

Partie 2 : la collision entre deux protons

Les deux protons ont la même masse et la même énergie cinétique : leurs vitesses ont la même valeur et des sens opposés. La quantité de mouvement du système avant le choc est donc le vecteur nul. Le système étant isolé, elle se conserve, et après la collision les deux vecteurs vitesse doivent encore être de même direction, de sens opposés et de même longueur. Seul le schéma 3 respecte ces trois critères. L'erreur classique consiste à additionner les valeurs au lieu des vecteurs.

Conseils pour réussir

Rédigez systématiquement le système, le référentiel et la loi utilisée. Vérifiez les unités avant chaque application numérique et gardez les valeurs non arrondies pour les calculs suivants. Enfin, la quantité de mouvement ne figure plus au programme actuel de spécialité, mais la deuxième loi de Newton et le mouvement dans un champ électrique uniforme y sont toujours : la partie 1 est un entraînement idéal.