Mouvements plans : huit affirmations à justifier

Cet exercice de 4 points se présente sous forme de vrai ou faux : huit affirmations, quatre sur un projectile dans le champ de pesanteur et quatre sur un satellite en orbite circulaire. Chaque réponse doit être justifiée par une démonstration de cours, un calcul ou une analyse dimensionnelle : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. C'est une excellente façon de vérifier que l'on maîtrise la deuxième loi de Newton et ses applications.

Partie 1 : le projectile

Le système est le projectile, étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, sans résistance de l'air. La seule force est le poids, donc la deuxième loi de Newton donne une accélération égale au champ de pesanteur : l'affirmation 1.1 est vraie, l'accélération ne dépend pas des conditions initiales.

Avec un axe Oz orienté vers le haut, la vitesse verticale s'écrit v_z = -gt + V₀ sin α. Elle varie avec le temps, donc le mouvement du projeté sur Oz n'est pas uniforme : l'affirmation 1.2 est fausse. Pour l'affirmation 1.3, on établit les équations horaires puis l'équation de la trajectoire en éliminant le temps. La division par cos α suppose cos α non nul : pour un tir vertical, la trajectoire est un segment de droite. L'affirmation « quelle que soit la valeur de α » est donc fausse, et c'est précisément le piège de la question.

L'affirmation 1.4 est vraie : avec une vitesse initiale horizontale, le projectile touche le sol à la cote z = -H au bout d'une durée √(2H/g), et l'abscisse du point de chute vaut V₀√(2H/g).

Partie 2 : le satellite

L'analyse dimensionnelle de la loi de gravitation montre que G s'exprime en m³·kg^-1·s^-2 et non en m·s^-2 : l'affirmation 2.1 est fausse. L'accélération du satellite a la direction et le sens de la force gravitationnelle, dirigée vers le centre de la Terre, donc vers le centre de la trajectoire : elle est centripète, l'affirmation 2.2 est vraie.

En projetant la deuxième loi de Newton sur le vecteur unitaire dirigé vers le centre, avec l'accélération V²/(R_T + h) du mouvement circulaire uniforme, on obtient V = √(GM_T/(R_T + h)) : l'affirmation 2.3 est vraie. Le piège est d'oublier que le rayon de l'orbite se compte depuis le centre de la Terre.

Enfin, la période vaut T = 2π√((R_T + h)³/(GM_T)). Avec R_T + h = 19 180 km, converti en mètres, on trouve environ 2,64 × 10⁴ s, soit environ 7 h 20 min : l'affirmation 2.4 est vraie.

Conseils pour réussir

Pour un vrai ou faux, commencez par poser le système, le référentiel et le bilan des forces, puis démontrez. Un contre-exemple suffit à rendre une affirmation fausse. Convertissez les distances en mètres avant tout calcul avec G, et vérifiez l'homogénéité de vos formules.