Accorder une guitare : les ondes stationnaires en situation

Cet exercice de spécialité, noté sur 4 points, part d'une situation familière : un guitariste qui accorde son instrument, d'abord avec un accordeur électronique, puis à l'oreille grâce aux harmoniques. Il mobilise le programme sur les cordes vibrantes : ondes stationnaires, modes propres, fondamental et harmoniques, lien entre la tension de la corde et la hauteur du son.

Partie 1 : la corde vibrante et la hauteur du son

La table d'harmonie joue le rôle de résonateur : une corde seule met très peu d'air en mouvement, la table reçoit ses vibrations par le chevalet et les transmet à l'air grâce à sa grande surface. La hauteur d'une note est associée à la fréquence de son mode fondamental.

La condition d'existence d'une onde stationnaire entre deux points fixes s'écrit L = nλ/2 : la longueur de la corde contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde. Le piège classique consiste à écrire L = nλ. Pour le mode fondamental, λ = 2L. En combinant avec λ = vT et l'expression de la célérité v = √(F/μ), on démontre que la période vaut T = 2L√(μ/F). Cette formule sert directement à la question suivante : si la corde de la sonne trop bas, sa fréquence est trop faible ; à longueur et masse linéique fixées, il faut augmenter la tension en tournant la clef dans le bon sens.

Partie 2 : vérifier l'accord avec les harmoniques

Le premier mode propre est le fondamental, les suivants sont les harmoniques, dont les fréquences sont des multiples entiers de celle du fondamental. Sur le troisième mode, la corde présente trois fuseaux : quatre nœuds, aux abscisses 0, L/3, 2L/3 et L, et trois ventres, à L/6, L/2 et 5L/6. Les modes 4, 5 et 6 se dessinent avec 4, 5 et 6 fuseaux de même longueur, en s'appuyant sur le quadrillage de l'annexe.

Le tableau 4 se complète en multipliant la fréquence du fondamental par le numéro du mode : 330, 660, 990, 1 320, 1 650 et 1 980 Hz pour la corde de mi grave, 440, 880, 1 320, 1 760, 2 200 et 2 640 Hz pour la corde de la.

Le doigt posé sur une frette

La question la plus fine porte sur l'effet d'un doigt posé délicatement sur la corde : il impose un nœud à cet endroit. Au niveau de la frette n°5, au quart de la corde, seuls les modes dont n est multiple de 4 subsistent : parmi les six premiers, seul le mode 4. Au niveau de la frette n°7, au tiers, il reste les modes 3 et 6. La fréquence commune aux deux cordes est donc 1 320 Hz, ce qui correspond à la note mi aigu du tableau 3, à 1 318,50 Hz. Le corrigé explique pourquoi cet écart d'environ 1,5 Hz est normal.

Conseils pour réussir

Faites toujours un schéma des fuseaux, repérez nœuds et ventres en fractions de L, et raisonnez sur la formule de la période avant de conclure sur un réglage. Ne dites pas que le doigt « supprime le fondamental » seulement : tous les modes qui présentaient un mouvement à cet endroit disparaissent.