Un exercice de spécialité sur le son et la musique

L'exercice de spécialité du bac S 2018 Amérique du Nord (ancien programme) est noté sur 5 points, soit une cinquantaine de minutes. Il relève du thème « Son et musique » et porte sur un petit instrument à percussion de 13 lames métalliques, qui joue les notes de Do4 à La5. Il ne comporte que deux questions, dont un problème ouvert : la démarche et la rédaction comptent autant que les calculs.

Question 1 : la note jouée par la 7ᵉ lame

Identifier la note

L'instrument est diatonique : ses lames donnent successivement Do4, Ré4, Mi4, Fa4, Sol4, La4, Si4, et ainsi de suite. La 7ᵉ lame joue donc le Si4.

Calculer sa fréquence

Le La4 est une octave au-dessus du La3 à 440 Hz, soit 880 Hz. Le Si4 est deux demi-tons plus haut ; chaque demi-ton multiplie la fréquence par 2 puissance 1/12, ce qui donne 988 Hz. Sur le spectre, la hauteur du son correspond au pic de plus basse fréquence, situé vers 1,0 kHz. L'écart est d'environ 1 % : l'étude expérimentale est cohérente avec la note. Le piège principal est de choisir le pic le plus haut, vers 5,3 kHz, qui ne donne pas la note.

Question 2 : valider le modèle de vibration

Le document fournit une relation entre la fréquence de chaque mode, l'épaisseur et la longueur de la lame et le facteur (2n + 1)². Si le modèle est valable, la grandeur k calculée pour chaque pic doit rester constante. Avec les fréquences lues de 1,0 kHz, 2,7 kHz et 5,35 kHz, on trouve trois valeurs proches de 5,6 × 10² m/s, qui s'écartent de moins de 2 % de leur moyenne : le modèle est validé. Deux erreurs coûtent cher : laisser les longueurs en millimètres et prendre n = 0 pour le fondamental, alors que le document impose n = 1. On remarque aussi que les pics ne sont pas des multiples du fondamental, ce qui explique le timbre de cloche de l'instrument.

Le problème : la longueur des lames

Prévoir

Toutes les lames ont la même épaisseur et le même acier, donc les mêmes valeurs de e et de k. En isolant la longueur dans la relation du fondamental, on obtient une longueur proportionnelle à l'inverse de la racine de la fréquence. La lame la plus longue joue le Do4, trois demi-tons au-dessus du La3, à 523 Hz : elle mesure environ 14 cm. La plus courte joue le La5 à 1 760 Hz : environ 7,6 cm.

Confronter à la photographie

Le mètre ruban posé sur l'instrument sert d'échelle. Après mesure sur la feuille et règle de proportionnalité, on trouve environ 14 cm et 7,5 cm : les prévisions sont cohérentes avec la photographie. Le commentaire peut souligner la faible précision des mesures sur une photographie et le fait que monter d'une octave ne divise la longueur que par racine de 2.

Conseils pour réussir

Dans un problème ouvert, annoncez la démarche, écrivez les hypothèses, puis confrontez prévision et mesure avant de conclure. La gamme tempérée n'est plus au programme actuel, mais l'analyse spectrale et la validation d'un modèle restent très utiles.