Le didjéridoo, un tuyau sonore fermé à une extrémité

L'exercice de spécialité du bac S Amérique du Nord 2006 vaut 4 points, soit environ 52 minutes. Il part du didjéridoo, trompe en bois d'eucalyptus des Aborigènes d'Australie, pour étudier les ondes stationnaires dans un tuyau sonore, l'analyse d'oscillogrammes et de spectres, puis le niveau d'intensité sonore. C'est un exercice de lecture de documents autant que de calcul.

Première partie : le mode fondamental

Les ondes sonores sont longitudinales : les tranches d'air se déplacent parallèlement à la direction de propagation. Le tuyau est modélisé fermé à une extrémité (un nœud) et ouvert à l'autre (un ventre). Entre un nœud et le ventre voisin, il y a un quart de longueur d'onde, donc λ₁ = 4L et f₁ = v/(4L).

Sur l'oscillogramme de la figure 2a, on mesure cinq périodes pour réduire l'incertitude : T₁ = 12 ms, d'où f₁ = 83 Hz, un son grave. La longueur du didjéridoo vaut alors L = 340/(4 × 83) = 1,0 m. Un tuyau ouvert aux deux bouts, avec un ventre à chaque extrémité, devrait mesurer au minimum λ₁/2 = 2,0 m pour donner la même note.

Deuxième partie : un second instrument

Le motif de la figure 3a se répète huit fois entre 14 ms et 124 ms : T'₁ = 13,8 ms et f'₁ = 73 Hz. La fréquence fondamentale étant inversement proportionnelle à la longueur, le second didjéridoo est plus long : L' = 1,2 m. La comparaison des spectres montre deux techniques de jeu : un seul pic pour le bourdon, lèvres desserrées ; plusieurs harmoniques d'amplitude notable quand le musicien comprime les joues et avance la langue.

Sur la figure 3b, le second pic le plus haut est vers 220 Hz : 220/73 ≈ 3, c'est l'harmonique de rang 3. Le tuyau contient alors trois quarts de longueur d'onde (nœud, ventre, nœud, ventre), donc L = 3λ₃/4, et seule la relation L = nλ_n/4 convient parmi les trois proposées.

Troisième partie : deux instruments ensemble

En inversant L_S = 10 log(I/I₀), on trouve I₁ = 1,6 × 10^-5 W/m² pour 72 dB et I₂ = 3,2 × 10^-5 W/m² pour 75 dB. Ce sont les intensités qui s'ajoutent : I = 4,8 × 10^-5 W/m², soit L_S = 77 dB.

Pièges et conseils

Le piège principal est d'additionner les niveaux sonores : 72 + 75 = 147 dB dépasserait le seuil de douleur. Autres erreurs relevées dans le corrigé : écrire L = λ/2 entre un nœud et un ventre, laisser une période en millisecondes, prendre pour période la durée entre deux bosses quelconques d'un signal non sinusoïdal, ou donner le numéro d'ordre du pic au lieu du rapport des fréquences. Schémas de nœuds et de ventres et écrans de calculatrice accompagnent chaque réponse.