Au bonheur des hippocampes : thermodynamique d'un aquarium

Le troisième exercice du bac 2024 Asie Jour 1, noté sur 5 points, étudie un aquarium d'hippocampes dont l'eau doit rester entre 24 et 28 °C, dans une pièce à 20 °C. En neuf questions, il parcourt le chapitre des transferts thermiques : modes de transfert, résistance thermique, bilan de puissance, puis résolution d'une équation différentielle du premier ordre. La dernière question, ouverte, demande de discuter la possibilité de se passer du chauffage électrique.

Les passages clés, question par question

Q1 et Q2 : sens du transfert et équilibre

Les trois modes de transfert thermique sont la conduction, la convection et le rayonnement. Sans chauffage, l'eau à 26 °C cède de l'énergie à l'air plus froid ; le transfert cesse à l'équilibre thermique. Comme la température de l'air reste constante, l'eau ne peut pas descendre sous 20 °C.

Q3 et Q4 : résistance thermique et puissance de chauffage

La conduction se fait par les quatre parois latérales et le couvercle, mais pas par le fond : la surface vaut 1,04 m². Avec une épaisseur de 8,0 mm et la conductivité du plexiglass, on trouve R_th = 4,5 × 10^-2 °C/W, proche de la valeur annoncée. Pour maintenir l'eau à 26 °C, le chauffage doit compenser exactement le flux perdu : P_th = (26 - 20) / R_th, soit environ 130 W.

Q5 et Q6 : le seul apport solaire

Le Soleil n'apporte que 30 W, alors que l'eau en perd 130 à 26 °C : sa température diminue, de plus en plus lentement. Le bilan de Q6 recense deux puissances : P_S, reçue du Soleil par rayonnement, et le flux Φ = (θ - θ_air) / R_th, perdu vers l'air ambiant à travers les parois.

Q7 à Q9 : temps caractéristique et conclusion

Le temps caractéristique τ = m c R_th vaut 1,8 × 10⁴ s, soit environ 5 h. Quand t devient grand devant τ, la température tend vers θ_f = θ_air + R_th P_S, environ 21 °C : le Soleil ne maintient l'eau qu'à 1,4 °C au-dessus de la pièce. En résolvant θ(t) = 24 °C, on trouve une durée d'environ 2,8 h. Au bout de trois heures environ, l'eau sort de l'intervalle toléré : le chauffage électrique reste nécessaire.

Les pièges à éviter

En Q2, donner 20 °C sans parler du sens du transfert ni de l'équilibre thermique ne suffit pas. En Q3, compter six faces au lieu de cinq, ou laisser l'épaisseur en millimètres, conduit à une valeur fausse ; le résultat obtenu, 4,5 × 10^-2 °C/W, s'écrit tel quel puisque l'énoncé dit seulement « proche ». En Q6, il ne faut pas ajouter la puissance du chauffage, éteint à partir de t = 0. En Q9, se contenter de constater que θ_f est inférieure à 24 °C est insuffisant : cette valeur n'est atteinte qu'après plusieurs τ, il faut donc comparer la date de passage sous 24 °C à la durée d'une journée.

Conseils pour réussir

Écrivez toujours la phrase de bilan avant le calcul : une température constante signifie que la puissance reçue est égale à la puissance cédée. Vérifiez l'unité de τ : des kilogrammes, des joules par kilogramme et par degré, et des degrés par watt donnent bien des secondes. Si le logarithme vous bloque en Q9, calculez la température à une date choisie, par exemple à 8 h, où elle vaut déjà environ 22,3 °C. Le corrigé détaillé propose les deux méthodes et un graphique de l'évolution de la température.