Mécanique céleste autour de Saturne

Cet exercice de 5 points du bac 2005 en Afrique s'appuie sur la mission Cassini-Huygens pour étudier le mouvement des satellites de Saturne. C'est un exercice classique de mécanique céleste : on applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel saturno-centrique, on travaille dans le repère de Frenet, puis on démontre et on utilise la troisième loi de Kepler. Il permet de revoir toutes les étapes d'un raisonnement sur un satellite en orbite circulaire.

Forces et schéma

Titan n'est soumis qu'à une seule force : l'attraction gravitationnelle exercée par Saturne. Sur le schéma, la force part du centre de Titan et pointe vers le centre de Saturne. Le piège est de dessiner une flèche partant de Saturne : la force étudiée est celle subie par Titan, donc appliquée en T. Le vecteur unitaire u étant dirigé de S vers T, l'expression vectorielle comporte un signe moins : la force est attractive, de sens opposé à u. Il faut aussi distinguer R_T, rayon de l'orbite de Titan, et R_S, rayon de la planète.

Accélération et repère de Frenet

Dans le référentiel saturno-centrique supposé galiléen, la deuxième loi de Newton donne une accélération qui ne dépend que de la masse de Saturne et de la distance : la masse de Titan se simplifie. Dans la base de Frenet, la composante tangentielle vaut dv/dt et la composante normale v²/R_T. Comme n est opposé à u, l'accélération est portée par n : elle se réduit à sa composante normale et elle est centripète. Sur le schéma complété, les trois vecteurs dirigés vers S sont portés par la même droite.

Mouvement circulaire uniforme

La composante tangentielle de l'accélération étant nulle, la valeur de la vitesse est constante : le mouvement est circulaire uniforme. Le corrigé insiste sur une confusion fréquente : une accélération tangentielle nulle signifie que la valeur de la vitesse est constante, pas le vecteur vitesse, qui change de direction à chaque instant. En identifiant les deux expressions de la composante normale, on retrouve v = √(GM_S/R_T).

Troisième loi de Kepler et Encelade

À partir de T = 2πR/v et de l'expression de la vitesse, on obtient T²/R³ = 4π²/(GM_S), rapport identique pour tous les satellites de Saturne. Pour Encelade, la période de 1,37 jour doit d'abord être convertie en secondes. On obtient un rayon d'orbite d'environ 2,38 × 10⁵ km, cohérent avec une période plus courte que celle de Titan, plus éloigné.

Sonde saturno-stationnaire

Pour rester à la verticale d'un même point de l'équateur, la sonde doit faire un tour d'orbite pendant que Saturne fait un tour sur elle-même : T_C = T_S. En remplaçant R par R_S + h dans la loi de Kepler, on obtient l'expression de l'altitude. Le calcul demande deux conversions : 10 h 39 min en secondes, soit 38 340 s, et le rayon de Saturne en mètres. L'altitude vaut environ 5,2 × 10⁴ km. Soustraire un rayon laissé en kilomètres à un rayon d'orbite en mètres ne changerait presque rien et donnerait un résultat faux.

Conseils

Travaillez toujours en unités du système international avant d'appliquer la loi de Kepler, et rappelez-vous que le rayon de l'orbite se mesure depuis le centre de la planète alors que l'altitude se mesure depuis sa surface.