Introduction
Allons-y, les amis, nous allons voir une application très simple du théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'une équation a un certain nombre de solutions sur un intervalle prédéterminé.
Théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires dit quelque chose qui est relativement intuitif. Il dit que si vous avez une fonction \(f\) qui passe par deux points, par exemple ce point-là et ce point-là, ces points-là je vais leur donner une abscisse arbitraire. Je vais appeler par exemple \(a\) l'abscisse de ce point-là et \(b\) l'abscisse de ce point-là. La fonction passe par ces deux points, du coup forcément ce que je vais dire ici c'est \(f(a)\) et ce que je vais dire là ça va être \(f(b)\).
Notre fonction \(f\), si je m'amuse à placer un point \(c\) n'importe où entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors à condition que cette fonction \(f\) soit continue, c'est-à-dire à condition que je n'ai pas le droit de lever le stylo quand je vais dessiner ma fonction, en passant de là à là je vais forcément couper cette ligne au moins une fois. Autrement dit, \(f\) elle va prendre la valeur \(c\) au moins une fois. Peut-être exactement une fois, peut-être deux fois, peut-être 10 fois, peut-être 100 fois, mais il n'y a aucun moyen qu'elle esquive cette valeur.
Application du théorème
Si je veux montrer que mon équation \(e^{-5x} - 3 = 0\) a une solution sur l'intervalle [0,10], il va falloir que j'applique ce schéma à \(e^{5x} - 3\) entre 0 et 10. Donc je vais commencer par montrer quelles sont les valeurs qu'on a ici. Mon point \(a\) et mon point \(b\) ici, ce sont toujours les bornes de l'intervalle qui m'intéressent donc l'abscisse de mon point \(a\) ça va être 0, l'abscisse de mon point \(b\) ça va être 10.
Le \(c\), c'est-à-dire le nombre dont je veux que \(f\) prenne la valeur, moi je veux que ma fonction \(f\) elle prenne la valeur 0. Le nombre qui m'intéresse c'est 0. Je vais calculer ce que j'ai ici et ce que j'ai ici. Ce que j'ai ici c'est l'image de 0 par la fonction \(f\), donc c'est \(e^{5 \cdot 0} - 3\), donc \(e^{0} - 3\), donc \(1 - 3 = -2\). Là, ce que j'ai c'est -2. Ensuite, combien j'ai en 10 ? J'ai \(e^{50} - 3\), je ne sais pas combien ça fait mais \(e^{50} - 3\) c'est très grand, ça doit faire par exemple \(10^6\).
Maintenant, je vois bien que ma fonction là, elle part de -2, elle arrive à un truc gigantesque et je veux montrer qu'elle passe au moins une fois par zéro. C'est évident donc on le dit. On dit \(f\), notre fonction \(f(x)\) qui vaut \(e^{5x} - 3\), elle est continue sur mon intervalle donc sur cet intervalle entre 0 et 10, [0,10]. Ensuite, on va dire que notre zéro est bien compris entre \(f\) du premier nombre et \(f\) du deuxième nombre donc j'ai bien 0 qui est bien compris entre \(f(0)\) donc -2 et \(f(10)\) donc \(10^6\).
Une fois que j'ai fait ça, je peux directement conclure donc l'équation \(f(x) = 0\), autrement dit \(e^{5x} - 3 = 0\), admet au moins une solution sur l'intervalle [0,10]. Peut-être 10, peut-être 20, peut-être sans solution, peut-être un milliard de solutions, peu importe, au moins une et c'est ce qui nous intéresse puisqu'on voulait montrer qu'elle admettait une solution, au moins une solution.
Variations possibles de l'exercice
Quelles peuvent être les petites variations qu'on a sur cet exercice ? La première variation que vous pouvez trouver, c'est celle où plutôt que d'avoir un intervalle avec deux nombres fermés, vous pouvez avoir des intervalles ouverts, par exemple [0, +\(\infty\)]. Au lieu d'avoir 10, vous aurez +\(\infty\) ici. La seule chose que ça change, c'est que vous ne pourrez pas calculer \(f(10)\), donc vous ne pourrez pas montrer que 0 est bien en dessous de \(f(10)\). Par contre, vous allez pouvoir calculer une limite et montrer que zéro est en dessous de la valeur de cette limite.
Ensuite, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, qui nous permet de gérer les cas où on veut montrer qu'elle admet exactement une solution ou alors une unique solution. À vous de jouer, vous êtes des champions.