Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir la technique absolue pour trouver sans se tromper les intervalles sur lesquels des fonctions sont continues. On se fait ça tout de suite. Pour bien comprendre sur quel intervalle une fonction est continue, il va bien falloir comprendre deux choses. Premièrement, ce qu'est le domaine de définition d'une fonction et deuxièmement, ce qu'est son domaine de continuité.

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition, c'est l'ensemble des valeurs que j'ai le droit de mettre dans une fonction. Je vous donne deux exemples. Le premier, c'est la fonction \( \frac{1}{x} \). Le deuxième, c'est la fonction racine de \( x \). Pour la fonction exponentielle de \( x \), les valeurs que j'ai le droit de mettre sont tous les nombres réels. Donc, le domaine de définition de \( e^x \) est \( \mathbb{R} \). Pour la racine de \( x \), c'est plus compliqué. On peut mettre tous les nombres positifs, on a le droit de mettre zéro, mais on n'a pas le droit de mettre les nombres négatifs. Donc, ça va de 0 à \( +\infty \), c'est son domaine de définition. Pour \( \frac{1}{x} \), on a le droit de mettre tout sauf zéro, parce qu'on n'a pas le droit de diviser par zéro. Donc, tout sauf zéro, ça s'appelle \( \mathbb{R} \) privé de zéro.

Domaine de continuité d'une fonction

Retenez que les fonctions que vous connaissez sont continues là où elles sont définies. Ça veut dire que, une fois que vous avez le domaine de définition, le domaine de continuité, l'ensemble de continuité, l'endroit où la fonction est continue, c'est le même. Autrement dit, \( e^x \) est continue sur \( \mathbb{R} \), la racine de \( x \) est continue sur \( [0, +\infty[ \) et \( \frac{1}{x} \) est continue sur \( \mathbb{R} \) privé de zéro. Donc, première règle pour trouver l'intervalle de continuité d'une fonction, c'est le même que son intervalle de définition. Deuxième règle, quand vous additionnez et que vous multipliez des fonctions, la continuité se conserve. C'est-à-dire que si par exemple, je multiplie ces trois fonctions, l'ensemble va être continu sur l'intervalle le plus contraignant. Prenons par exemple \( \frac{1}{x} \), \( \sqrt{x} \) et \( e^x \). Je sais que cette fonction est continue sur \( \mathbb{R}^* \), que cette fonction est continue sur \( [0, +\infty[ \) et que cette fonction est continue sur \( \mathbb{R} \). Et bien l'ensemble, c'est-à-dire le produit de ces trois fonctions, sera continu sur l'intervalle où les trois fonctions sont continues, c'est-à-dire \( ]0, +\infty[ \). Quand vous avez des sommes et des quotients, c'est quasiment la même chose. On commence par se demander où chaque fonction est continue. Par exemple, \( x^2 \) est continu sur \( \mathbb{R} \). Donc, si on a une somme ou un quotient de fonctions continues, on prend l'intervalle le plus contraignant et on vérifie que le dénominateur ne s'annule pas. Donc, retenez bien que quand vous voulez montrer que des fonctions sont continues, vous n'allez pas montrer qu'elles sont continues pour chaque point. Vous allez montrer que ces fonctions sont des produits, des sommes, des quotients de fonctions continues. Prenez les intervalles les plus contraignants et en déduisez l'intervalle de continuité. On vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous, à vous de jouer, vous êtes des champions !