Introduction
Allons-y, les amis, nous allons résoudre un exercice complet sur la continuité, exactement ce que vous risquez d'avoir lors d'un contrôle. On vous a donné une fonction \(f\) qui est définie sur un intervalle coupé en deux. On vous dit que cette fonction, en fonction de si vous êtes plus petit que 0 (c'est-à-dire si vous êtes sur cet intervalle \(-\infty, 0)\), cette fonction sera \(e^{-5x} + 4\). Et si vous êtes plus grand que 0 (c'est-à-dire si vous êtes sur cet intervalle \(0, +\infty\)), cela sera \(\sqrt{2x + 25}\). On vous demande si cette fonction, définie en deux parties sur deux intervalles différents, est continue sur \(\mathbb{R}\), c'est-à-dire sur tout l'intervalle.
Étude de la continuité sur chaque intervalle
Premier réflexe, on veut vérifier qu'il n'y a aucun problème avec \(e^{-5x} + 4\) et \(\sqrt{2x + 25}\) pour qu'ils soient continus, c'est-à-dire que ces deux fonctions se rejoignent au même point. On prend en compte que la définition de la continuité n'est pas aussi exigeante que celle de la dérivabilité. Comment fait-on cela ? Eh bien, on va d'abord vérifier qu'elle est continue sur cet intervalle \(-\infty, 0\), ensuite on va le faire sur cet intervalle \(0, +\infty\). Une fois qu'on saura si c'est continue sur ces deux intervalles, on va voir si c'est continue à la jonction de ces intervalles. Si c'est continue ici, là et à la jonction, alors cela signifie que c'est continue partout.
Comment étudie-t-on la continuité sur chacun des intervalles ? On regarde les fonctions, on se demande où elles sont définies. Si elles sont définies, alors elles sont continues. Par exemple, \(e^{-5x} + 4\) est toujours défini, donc il est continu sur \(\mathbb{R}\), donc il est aussi continu sur \(-\infty, 0\). De même, \(\sqrt{2x + 25}\) est défini pour \(x \geq 0\), donc il est aussi continu pour \(x \geq 0\).
Étude de la continuité à la jonction des intervalles
Vérifions maintenant que, après avoir été continue sur \(-\infty, 0\) et sur \(0, +\infty\), elle est continue à la jonction, c'est-à-dire en 0. On sait comment vérifier qu'une fonction est continue en un point : on va faire la limite à gauche, on va faire la limite à droite, on va calculer \(f(0)\) et on va vérifier si ces trois valeurs sont égales. Si ces trois valeurs sont égales, alors \(f\) est continue en 0.
La limite de \(e^{-5x} + 4\) quand \(x\) tend vers 0 par la gauche est 5. La limite de \(\sqrt{2x + 25}\) quand \(x\) tend vers 0 par la droite est aussi 5. Et \(f(0)\) est également 5. Donc, notre fonction \(f\) est continue en 0.
Conclusion
En conclusion, notre fonction \(f\) est continue sur tout \(\mathbb{R}\). Pour ce genre d'exercice, vous vérifiez que les fonctions sont continues sur les intervalles en utilisant les propriétés des fonctions continues, et ensuite vous vérifiez la continuité en 0. À vous de jouer maintenant !