5. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons aborder un des théorèmes préférés des terminales : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Nous allons l'explorer à travers un petit exercice, comme vous pourriez le voir en contrôle. Il y a des mots qui doivent vous faire comprendre qu'il faut utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Ces mots sont notamment "une unique solution", "exactement une solution" ou encore "une solution qui s'appelle alpha". Dès que vous entendez ces mots, vous devez savoir qu'il faut utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Explication du théorème

Comment fait-on cela ? Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ressemble beaucoup au théorème des valeurs intermédiaires. Pour mémoire, le théorème des valeurs intermédiaires dit que si j'ai une fonction \(f\) qui passe d'un point \(a\) à un point \(b\), alors cette fonction passe par tous les points entre ces deux points. Par exemple, si je mets un nombre \(c\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), le théorème des valeurs intermédiaires me dit que, si la fonction \(f\) est continue (ce qui est une des conditions que je vais vérifier au début de mon exercice), alors je vais passer au moins une fois par la valeur \(c\). Il n'y a aucun moyen que je saute cette valeur, car pour sauter cette valeur, il faudrait que je lève mon stylo, ce qui signifie que la fonction n'est plus continue. Maintenant, si en plus de cela, \(f\) est strictement monotone (c'est-à-dire strictement croissante ou décroissante), alors non seulement elle va croiser la barre de \(c\), mais elle va la croiser exactement une fois. En effet, si je suis strictement croissant, je ne peux pas recroiser \(c\). Donc, si \(f\) est strictement croissante, je n'ai pas d'autre choix que de couper une seule fois la ligne à la valeur \(c\). Cette valeur est le fameux alpha. On dit dans ce cas que si ces trois hypothèses sont validées, l'équation \(f(x) = \alpha\) admet une unique solution sur l'intervalle \([a, b]\).

Application à un exercice

La difficulté est de trouver qui sont \(a\), \(b\), \(f(a)\) et \(f(b)\). Prenons un exemple : nous voulons démontrer que l'équation \(e^{5x} - 3 = 0\) a une unique solution sur l'intervalle \([0, 10]\). Pour cela, nous allons d'abord vérifier que \(0\) (la valeur que doit prendre la fonction) est bien compris entre \(f(0)\) et \(f(10)\). Nous calculons donc \(f(0) = e^{5 \cdot 0} - 3 = 1 - 3 = -2\) et \(f(10) = e^{5 \cdot 10} - 3\), qui est un nombre très grand (de l'ordre de \(10^{21}\)). Nous avons donc bien \(0\) qui est compris entre \(-2\) et \(10^{21}\). Ensuite, nous vérifions que la fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \([0, 10]\). En effet, \(f\) est la somme d'une fonction continue (l'exponentielle) et d'une constante, donc \(f\) est continue. Enfin, nous vérifions que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l'intervalle \([0, 10]\). Pour cela, nous calculons la dérivée de \(f\), qui est \(f'(x) = 5e^{5x}\). Comme \(5\) est positif et \(e^{5x}\) est toujours positif, \(f'(x)\) est strictement positif, donc \(f\) est strictement croissante. Nous avons donc vérifié les trois conditions du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : \(0\) est bien compris entre \(f(0)\) et \(f(10)\), \(f\) est continue sur \([0, 10]\) et \(f\) est strictement croissante sur \([0, 10]\). Nous pouvons donc conclure qu'il existe un unique réel \(\alpha\) entre \(0\) et \(10\) tel que l'équation \(e^{5\alpha} - 3 = 0\) soit vérifiée. Cet exercice est un classique des examens et contrôles de terminale. N'oubliez pas de bien vérifier les trois conditions du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et de bien préciser que la fonction est strictement monotone pour garantir l'unicité de la solution. Bonne chance dans vos révisions !