Ce que contient ce sujet

Ce sujet complet de mathématiques, proposé lors de la session 2015 pour le groupement 1, respecte l'ancien format de l'épreuve écrite du concours de recrutement de professeurs des écoles. Vous y affronterez d'abord un problème dense, suivi de trois exercices indépendants. Le problème principal s'articule autour des polygones de Pick, une notion géométrique originale tracée sur un réseau de points à maille carrée. Il vous demande d'explorer cette configuration spécifique au travers de quatre parties progressives, en mêlant habilement des raisonnements géométriques et des démonstrations d'ordre algébrique.

La suite de l'épreuve est constituée de trois exercices distincts. Le premier exercice est une situation incontournable du concours reposant sur de l'arithmétique pure, où vous devrez déterminer la valeur exacte de deux entiers naturels à l'aide de trois conditions précises. Le deuxième exercice s'ancre dans le quotidien en étudiant l'augmentation du volume de l'eau lorsqu'elle se transforme en glace. Il s'appuie sur une représentation graphique à modéliser et à analyser. Enfin, le troisième et dernier exercice vous confronte à un problème d'optimisation de distance au sein d'un trapèze rectangle, nécessitant l'étude d'un point mobile situé sur l'un de ses côtés.

Les themes travailles

• Géométrie plane et optimisation : utilisation des propriétés des figures usuelles comme le trapèze rectangle, ainsi que des théorèmes fondamentaux de Thalès et de Pythagore pour exprimer et optimiser des longueurs.
• Arithmétique : résolution de problèmes de recherche d'entiers naturels en exploitant des critères de divisibilité et des propriétés liées aux nombres.
• Calcul littéral : mise en équation de situations géométriques et manipulation d'expressions algébriques, notamment au sein du problème sur les polygones de Pick.
• Aires et repérage : calculs de surfaces pour des polygones construits sur des réseaux de points.
• Fonctions et proportionnalité : modélisation de situations concrètes et lecture de représentations graphiques pour analyser l'évolution de grandeurs proportionnelles.

Comment travailler ce sujet

Pour tirer le meilleur parti de ce sujet d'annales de la session 2015, il est recommandé de vous placer dans les conditions réelles de l'épreuve du concours. Accordez-vous une durée de travail ininterrompue d'environ quatre heures, ce qui correspond au format habituel de cette composition. Commencez par lire l'intégralité de l'énoncé afin de repérer les exercices avec lesquels vous êtes le plus à l'aise. Ne négligez pas le grand problème initial : bien qu'il puisse sembler intimidant, ses parties sont souvent conçues de manière progressive, ce qui vous permet de glaner des points en répondant aux premières questions même si la suite vous pose des difficultés.

Prenez le temps de rédiger chacune de vos réponses avec le plus grand soin. Le jury du concours accorde une importance capitale à la clarté de vos explications et à la rigueur de vos démonstrations. Lorsque vous manipulez le calcul littéral ou que vous appliquez les théorèmes de géométrie classique, justifiez toujours les hypothèses nécessaires avant de conclure. Si vous bloquez sur l'exercice d'arithmétique, essayez de traduire mathématiquement chaque condition donnée par l'énoncé sur un brouillon avant de vous lancer dans la rédaction définitive de votre copie. Une fois le temps écoulé, confrontez votre production à la correction détaillée pour identifier vos erreurs et consolider vos points forts.