Ce que demande cet exercice
Cet exercice de géométrie plane est issu du sujet du CRPE 2019 pour le groupement 3. Il s'appuie sur une figure géométrique composée de plusieurs triangles imbriqués et sécants, qui n'est volontairement pas représentée à l'échelle. Vous y trouvez cinq points distincts formant deux droites sécantes, accompagnés d'une série de mesures de segments et d'une indication d'orthogonalité. L'objectif final, clairement énoncé au début de l'énoncé, est de calculer l'aire d'un triangle spécifique de cette figure.
Pour y parvenir, le sujet vous guide à travers quatre questions progressives. Vous devez d'abord démontrer que deux droites sont perpendiculaires à l'aide des longueurs fournies pour un premier triangle. Cette démonstration vous permet ensuite de basculer dans un autre triangle rectangle pour en déduire une longueur manquante par le calcul. Ensuite, grâce à l'orthogonalité démontrée précédemment et celle donnée dans l'énoncé, vous êtes amené à justifier le parallélisme de deux droites pour calculer une nouvelle longueur via une configuration classique de proportionnalité. Enfin, la dernière question vous demande de synthétiser toutes ces informations pour déterminer l'aire du grand triangle ciblé.
Les notions a maitriser
- Le théorème de Pythagore et sa réciproque : indispensables pour démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de la longueur de ses trois côtés, puis pour calculer la longueur d'un côté manquant dans un triangle dont on sait qu'il est rectangle.
- Le théorème de Thalès : essentiel pour calculer des longueurs dans une configuration en nœud papillon, à condition de bien justifier au préalable le parallélisme des droites concernées grâce aux propriétés des droites.
- Les propriétés des droites perpendiculaires et parallèles : il est crucial de savoir que si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont nécessairement parallèles entre elles.
- Le calcul de l'aire d'un triangle : il faut maîtriser la formule classique impliquant la base et la hauteur relative à cette base, et savoir identifier la bonne hauteur sur une figure complexe, parfois située à l'extérieur.
Methode et pieges
La principale difficulté de cet exercice réside dans la lecture de la figure et l'enchaînement logique des justifications. Ne vous fiez surtout pas au dessin, puisque l'énoncé précise explicitement qu'il n'est pas à l'échelle. Reposez-vous exclusivement sur les données numériques fournies et sur les théorèmes mathématiques de votre cours. Pour la première question, repérez bien le triangle dans lequel vous connaissez les trois longueurs. La rédaction de la réciproque doit être rigoureuse : calculez le carré du plus grand côté séparément de la somme des carrés des deux autres côtés avant de formuler votre conclusion.
Lors du calcul de la longueur dans la configuration de droites sécantes, le piège classique est d'appliquer un théorème de proportionnalité sans avoir explicitement prouvé le parallélisme des droites au préalable. Prenez le temps de rédiger cette étape intermédiaire en utilisant les propriétés des perpendiculaires. Enfin, pour le calcul de l'aire final, soyez vigilant sur le choix de la base et de la hauteur. Il n'est pas toujours nécessaire de calculer de nouvelles longueurs si l'on observe bien la figure ; la hauteur issue d'un des sommets peut correspondre à un segment déjà connu. Pensez à vérifier la cohérence géométrique à chaque étape pour ne pas propager une erreur de calcul initiale sur toute la suite.