Ce que demande cet exercice

Cet exercice issu de la partie didactique de l'épreuve s'intéresse à la phase d'institutionnalisation lors d'une séquence consacrée aux nombres décimaux dans une classe de CM1. Vous êtes confronté à quatre propositions d'élèves visant à définir ce qu'est un nombre décimal. Chaque définition proposée par les élèves (Omar, Lucie, Léo et Aminata) s'appuie sur des conceptions incomplètes ou partiellement erronées, souvent liées à la représentation graphique du nombre ou à des exemples restreints.

Le sujet vous demande, dans un premier temps, d'analyser mathématiquement chacune de ces quatre propositions afin d'expliquer précisément pourquoi l'enseignante ne peut pas les valider en l'état. Il s'agit de pointer les limites de chaque formulation en s'appuyant sur les propriétés fondamentales des ensembles de nombres. Dans un second temps, vous devez vous placer dans la posture du professeur et formuler une définition rigoureuse, mais accessible à des élèves de cycle 3, qui pourra servir de trace écrite dans les cahiers lors de la clôture de la séance.

Les notions à maîtriser

• La définition mathématique stricte d'un nombre décimal, à savoir un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale ou dont le développement décimal est limité.
• L'inclusion des ensembles de nombres, notamment la compréhension du fait que l'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des nombres décimaux.
• L'analyse d'erreurs et de conceptions d'élèves, une compétence didactique majeure pour interpréter ce que l'élève a voulu dire et identifier l'obstacle épistémologique sous-jacent.
• La transposition didactique et l'institutionnalisation, c'est-à-dire la capacité à formuler un savoir mathématique savant en un savoir scolaire compréhensible et mémorisable par un élève de CM1.

Méthode et pièges

Pour réussir la première partie de cette question, vous devez adopter une démarche de contre-exemple. Lorsqu'un élève affirme qu'un nombre décimal possède obligatoirement une virgule, demandez-vous s'il existe des nombres décimaux qui n'en ont pas besoin dans leur écriture usuelle. De même, lorsqu'il est fait mention de nombres situés entre deux entiers ou de fractions avec un dénominateur spécifique, cherchez les cas particuliers qui invalident ces règles absolues. Le piège principal ici serait de se contenter de dire que la phrase est fausse sans démontrer mathématiquement pourquoi elle exclut certains nombres décimaux ou en inclut d'autres qui ne le sont pas, comme les rationnels non décimaux.

Concernant la seconde partie, la proposition de trace écrite, le jury attend de vous une formulation qui allie rigueur scientifique et adaptation au niveau cognitif d'un enfant de cycle 3. Évitez le jargon mathématique trop abstrait de l'enseignement secondaire, mais ne tombez pas non plus dans la simplification abusive qui reproduirait les erreurs analysées précédemment. Prenez le temps de définir le nombre par sa nature, par exemple en lien avec les fractions décimales, plutôt que par son écriture à virgule qui n'est qu'une convention de représentation. Pensez à construire une phrase claire, concise et directement réutilisable dans le cadre d'un bilan d'apprentissage de fin de séquence.