Ce que demande cet exercice

L'exercice que vous avez sous les yeux est un grand classique des sujets du concours : un questionnaire sous forme de vrai ou faux composé de dix affirmations indépendantes. La particularité de ce format réside dans l'exigence absolue de justification. Il ne suffit pas d'indiquer si la proposition est vraie ou fausse, vous devez impérativement démontrer votre réponse. Ce sujet balaie de façon transversale un large spectre du programme de mathématiques du cycle quatre, exigible à cette épreuve. Vous serez ainsi amené à vous prononcer sur l'appartenance de valeurs à certains ensembles de nombres, à modéliser algébriquement une situation pour résoudre une équation, ou encore à vérifier des propriétés géométriques liées aux polygones et au théorème de Pythagore. L'exercice vous invite également à manipuler des pourcentages d'évolution successifs, à calculer l'antécédent d'une valeur par une fonction affine, et à comprendre l'effet d'un agrandissement sur l'aire d'une figure plane. C'est une évaluation complète de vos connaissances.

Les notions a maitriser

• Les caractéristiques des différents ensembles de nombres, notamment la définition précise d'un nombre décimal et d'un nombre rationnel.
• Les techniques de développement, de factorisation et de résolution d'équations pour le calcul littéral, ainsi que la modélisation formelle de nombres entiers consécutifs.
• Les règles d'évolution et de calcul des pourcentages, en particulier le traitement des hausses successives à l'aide des coefficients multiplicateurs.
• Les propriétés géométriques, incluant la reconnaissance des figures usuelles comme le rectangle, et l'application de la réciproque ou de la contraposée du théorème de Pythagore.
• Le vocabulaire des fonctions, pour ne pas confondre l'image et l'antécédent, ainsi que les règles d'agrandissement-réduction sur les longueurs et les aires.

Methode et pieges

La réussite de ce type d'exercice repose sur la rigueur de vos justifications mathématiques. La méthode diffère selon que vous pensez l'affirmation vraie ou fausse. Si la proposition est fausse, la méthode la plus efficace consiste à exhiber un unique contre-exemple. Par exemple, pour infirmer une définition géométrique incomplète ou une fausse propriété, un seul cas particulier qui contredit la règle suffit. En revanche, si la proposition est vraie, il est strictement interdit de se contenter de quelques exemples numériques. Vous devez construire une démonstration générale en vous appuyant sur des théorèmes connus, des définitions formelles ou en utilisant le calcul littéral.

Les pièges sont nombreux et testent votre vigilance. L'un des plus fréquents concerne les pourcentages : méfiez-vous de la forte tentation d'additionner directement des taux d'évolution successifs, car on doit obligatoirement utiliser les coefficients multiplicateurs. En analyse, soyez extrêmement attentif au vocabulaire. Ne confondez pas le simple calcul de l'image par une fonction avec la recherche de son antécédent, qui nécessite systématiquement de poser une équation. De même, la définition mathématique d'un ensemble de nombres peut réserver des surprises si vous vous limitez à la présence visuelle d'une virgule. Enfin, en géométrie, ne vous fiez jamais à l'apparence d'un croquis. Une figure à main levée n'a aucune valeur de preuve géométrique, seuls les calculs rigoureux permettent de statuer sur la nature réelle d'une figure.