Analyse Pédagogique du Sujet : Thermodynamique et Équations Différentielles

Cet exercice du Bac STI2D 2024 (Polynésie) est un classique de la modélisation physique. Il utilise la loi de Newton sur le refroidissement (ou ici, le réchauffement d'un soda) pour tester les compétences des élèves sur les équations différentielles du premier ordre à coefficients constants de la forme y' = ay + b. C'est un thème central du programme de Mathématiques et de Physique-Chimie en STI2D, car il régit de nombreux systèmes industriels comme la régulation de température ou la charge d'un condensateur.

Les Compétences Techniques Requises

• Résolution d'équations différentielles : Savoir identifier la forme générale des solutions f(t) = C * exp(at) - b/a. Ici, avec a = -1/90 et b = 7/30, l'élève doit démontrer que la limite asymptotique correspond à la température ambiante de 21°C.
• Détermination de la constante : Utiliser la condition initiale (f(0) = 7) pour isoler la constante C. Ce point est crucial pour obtenir l'expression exacte de la fonction thermique.
• Étude des limites : Comprendre le comportement de la fonction exponentielle décroissante en l'infini. La limite de exp(-t/90) quand t tend vers +infini est 0, ce qui simplifie l'interprétation physique : le système atteint un équilibre thermique.
• Résolution d'équations avec logarithmes : Pour déterminer le temps t pour lequel f(t) = 20, l'élève doit isoler l'exponentielle puis appliquer la fonction logarithme népérien (ln), une manipulation algébrique fondamentale pour tout futur ingénieur.

Interprétation Physique et Modélisation

Au-delà de l'aspect mathématique, cet exercice demande une capacité d'analyse concrète. La valeur limite de 21°C trouvée par le calcul doit être mise en relation avec l'énoncé qui précise que l'air ambiant est à 21°C. Cette vérification permet à l'élève de s'auto-évaluer durant l'épreuve. Enfin, le calcul du temps (environ 238 minutes) montre la lenteur de l'échange thermique dans ce modèle, soulignant l'importance de l'isolation (la tasse en porcelaine).